Задачи › Сила Лоренца, движение частиц в магнитном поле

Ионы в магнитном поле

  1. Ионы в магнитном поле

    IPhO 1974/75, 11 кл.
    6/10

    Пучок положительных ионов (заряд \(+e\)) одинаковой и постоянной массы \(m\) расходится из точки Q в разных направлениях в плоскости рисунка (см. рисунок). Ионы были ускорены напряжением \(U\). Они отклоняются в однородном магнитном поле \(B\), перпендикулярном плоскости рисунка. Границы магнитного поля сделаны так, что вначале расходящиеся ионы фокусируются в точке A (\(\overline{\mathrm{QA}} = 2\cdot a\)). Траектории ионов симметричны относительно серединного перпендикуляра к \(\overline{\mathrm{QA}}\).

    Рисунок

    На рисунке: magnetic field — магнитное поле. Этот поясняющий рисунок добавлен авторами статьи, в исходной формулировке задачи его не было.

    Среди различных возможных границ магнитного поля рассматривается определённый тип, при котором сплошное магнитное поле действует вокруг серединного перпендикуляра, а точки Q и A находятся в области без поля.

    1. Выразите радиус кривизны \(R\) траектории частицы в магнитном поле через напряжение \(U\) и индукцию \(B\).

    2. Опишите характерные свойства траекторий частиц в указанной установке.

    3. Получите границы магнитного поля геометрическими построениями для случаев \(R < a\), \(R = a\) и \(R > 0\).

    4. Найдите общее уравнение границ магнитного поля.

    ▶Показать разборСкрыть разбор
    Подсказка

    Внутри поля ионы движутся по окружностям одного радиуса, вне поля — по прямым. Из симметрии центры всех окружностей лежат на серединном перпендикуляре к QA, а прямолинейные участки касаются этих окружностей и проходят через Q и A.

    Ответ

    1) \(R = \dfrac1B\sqrt{\dfrac{2\cdot m\cdot U}{e}}\);  2) в поле — дуги окружностей радиуса \(R\) с центрами на серединном перпендикуляре к QA, вне поля — прямые по касательным;  3) границы поля — геометрическое место точек касания (см. рисунки решения); при \(R > a\) не все ионы попадают в A;  4) \(r = \dfrac{a}{\cos\varphi}\left(1 - \dfrac{R}{a}\sin\varphi\right)\) в полярных координатах с центром в Q.

    Решение

    а) Кинетическая энергия иона после ускорения напряжением \(U\): \[\tfrac12 mv^2 = eU. \tag{1}\] Из уравнения (1) вычисляем скорость ионов: \[v = \sqrt{\frac{2\cdot e\cdot U}{m}}. \tag{2}\] На движущийся ион (заряд \(e\), скорость \(v\)) в однородном магнитном поле \(B\) действует сила Лоренца \(F\). В данных условиях скорость всегда перпендикулярна магнитному полю. Поэтому траектории ионов — окружности радиуса \(R\). Сила Лоренца и центробежная сила равны по величине: \[e\cdot v\cdot B = \frac{m\cdot v^2}{R}. \tag{3}\] Из уравнения (3) вычисляем радиус траектории иона: \[R = \frac1B\sqrt{\frac{2\cdot m\cdot U}{e}}. \tag{4}\]

    б) Все ионы массой \(m\) движутся внутри магнитного поля по окружностям радиуса \(R = v\cdot m/(e\cdot B)\). Выйдя из магнитного поля, они летят по прямой вдоль последней касательной. Центры кривизны траекторий ионов лежат на серединном перпендикуляре к \(\overline{\mathrm{QA}}\), поскольку магнитное поле предполагается симметричным относительно серединного перпендикуляра к \(\overline{\mathrm{QA}}\). Из-за направления магнитного поля траектории фокусируемых ионов лежат выше \(\overline{\mathrm{QA}}\).

    Рисунок
    Рисунок
    Рисунок

    в) Способ построения границ магнитного поля основан на рассуждениях пункта б):

    • Нарисуйте окружности радиуса \(R\) с различными центрами кривизны на серединном перпендикуляре к \(\overline{\mathrm{QA}}\).

    • Проведите касательные к окружности, на которых лежит точка Q или точка A.

    • Точки касания образуют границы магнитного поля. Если \(R > a\), то не все ионы достигнут точки A. Ионы, вылетающие под углом круче касательной в точке Q, не приходят в A. На рисунках выше показаны границы магнитного поля для трёх случаев \(R < a\), \(R = a\) и \(R > a\).

    г) Общее уравнение границ магнитного поля удобно вывести в полярных координатах \((r, \varphi)\), а не в декартовых \((x, y)\).

    Рисунок

    Из рисунка получаем соотношение \[r\cdot\cos\varphi + R\sin\varphi = a. \tag{7}\] Границы магнитного поля задаются уравнением \[r = \frac{a}{\cos\varphi}\left(1 - \frac{R}{a}\sin\varphi\right). \tag{8}\]

    Вся олимпиада на сайте

    Страница задачиОшибка в задаче?

Похожие задачи

наверх