Толстая линза

Показатель преломления зависит от длины волны. При заданном \(f\) формула для фокусного расстояния — квадратное уравнение относительно \(n\); приравняйте \(f(n_1) = f(n_2)\) и посмотрите, когда у квадратного уравнения ровно одно физически допустимое решение.

а) Показатель преломления \(n\) — функция длины волны \(\lambda\), т. е. \(n = n(\lambda)\). Согласно данной формуле для фокусного расстояния \(f\) (см. выше), которая при заданном \(f\) даёт уравнение, квадратное относительно \(n\), существует не более двух различных длин волн (показателей преломления) с одним и тем же фокусным расстоянием.

б) Если фокусное расстояние одинаково для двух различных длин волн, то выполняется уравнение \[f(\lambda_1) = f(\lambda_2) \quad\text{или}\quad f(n_1) = f(n_2). \tag{1}\] Из уравнения (1) с помощью данной формулы для фокусного расстояния следует \[\frac{n_1 r_1 r_2}{(n_1 - 1)\left[n_1(r_2 - r_1) + d(n_1 - 1)\right]} = \frac{n_2 r_1 r_2}{(n_2 - 1)\left[n_2(r_2 - r_1) + d(n_2 - 1)\right]}.\] Алгебраические вычисления приводят к \[r_1 - r_2 = d\cdot\left(1 - \frac{1}{n_1 n_2}\right). \tag{2}\] Если значения радиусов \(r_1\), \(r_2\) и толщины удовлетворяют этому условию, фокусное расстояние будет одинаковым для двух длин волн (показателей преломления). На параметры этого уравнения наложены некоторые физические ограничения: показатели преломления больше 1, а толщина линзы больше 0 м. Поэтому из уравнения (2) следует соотношение \[d > r_1 - r_2 > 0. \tag{3}\]

г) Решения уравнения (5): \[n_{1,2} = -\frac{B}{2\cdot A} \pm \sqrt{\frac{B^2}{4\cdot A^2} - \frac{C}{A}}. \tag{6}\] Уравнение (5) имеет только одно физически правильное решение, если…

I) \(A = 0\) (т. е. обращается в нуль коэффициент при \(n^2\) в уравнении (5)). В этом случае выполняются соотношения \[r_1 - r_2 = d, \tag{7}\] \[n = \frac{f\cdot d}{f\cdot d + r_1\cdot r_2} > 1. \tag{8}\]

II) \(B = 0\) (т. е. обращается в нуль коэффициент при \(n\) в уравнении (5)). В этом случае уравнение имеет положительное и отрицательное решения. С физической точки зрения смысл имеет только положительное решение. Имеем \[f\cdot(r_2 - r_1) + 2\cdot f\cdot d + r_1\cdot r_2 = 0, \tag{9}\] \[n^2 = -\frac{C}{A} = -\frac{d}{(r_2 - r_1 + d)} > 1. \tag{10}\]

III) \(B^2 = 4AC\). В этом случае существуют два одинаковых действительных решения. Имеем \[\left[f\cdot(r_2 - r_1) + 2\cdot f\cdot d + r_1\cdot r_2\right]^2 = 4\cdot(r_2 - r_1 + d)\cdot f^2\cdot d, \tag{11}\] \[n = -\frac{B}{2\cdot A} = \frac{f\cdot(r_2 - r_1) + 2\cdot f\cdot d + r_1\cdot r_2}{2\cdot f(r_2 - r_1 + d)} > 1. \tag{12}\]