Вращающийся стержень

Во вращающемся стержне на тело, кроме силы тяжести и реакции, действует центробежная сила \(mr\omega^2\). Сила трения покоя может быть направлена как вверх, так и вниз по стержню: рассмотрите оба случая и найдите границы равновесия по расстоянию \(r\) от оси.

а) \(\omega = 0\).

Силы в этом случае (см. рисунок): \[\vec G = \vec Z + \vec N = m\cdot\vec g, \tag{1}\] \[|\vec Z| = m\cdot g\cdot\sin\alpha = Z, \tag{2}\] \[|\vec N| = m\cdot g\cdot\cos\alpha = N, \tag{3}\] \[|\vec R| = \mu\cdot N = \mu\cdot m\cdot g\cdot\cos\alpha = R \tag{4}\] [\(\vec R\) — сила трения].

Тело покоится относительно стержня, если \(Z \le R\). Согласно уравнениям (2) и (4) это равносильно \(\operatorname{tg}\alpha \le \operatorname{tg}\beta\). Это значит, что тело покоится относительно стержня при \(\alpha \le \beta\) и движется вдоль стержня при \(\alpha > \beta\).

б) \(\omega > 0\).

Нужно рассмотреть две различные ситуации: 1. \(\alpha > \beta\) и 2. \(\alpha \le \beta\).

Если стержень движется (\(\omega \ne 0\)), действуют силы \(\vec G = m\cdot\vec g\) и \(|\vec F_r| = m\cdot r\cdot\omega^2\).

Из параллелограмма сил (см. рисунок): \[\vec Z + \vec N = \vec G + \vec F_r. \tag{5}\] Условие равновесия: \[|\vec Z| = \mu|\vec N|. \tag{6}\]

Случай 1: \(\vec Z\) направлена вниз, т. е. \(g\cdot\sin\alpha > r\cdot\omega^2\cdot\cos\alpha\). \[|\vec Z| = m\cdot g\cdot\sin\alpha - m\cdot r\cdot\omega^2\cdot\cos\alpha \quad\text{и}\quad |\vec N| = m\cdot g\cdot\cos\alpha + m\cdot r\cdot\omega^2\cdot\sin\alpha.\] Случай 2: \(\vec Z\) направлена вверх, т. е. \(g\cdot\sin\alpha < r\cdot\omega^2\cdot\cos\alpha\). \[|\vec Z| = -m\cdot g\cdot\sin\alpha + m\cdot r\cdot\omega^2\cdot\cos\alpha \quad\text{и}\quad |\vec N| = m\cdot g\cdot\cos\alpha + m\cdot r\cdot\omega^2\cdot\sin\alpha.\] Из условия равновесия (6) следует, что \[\pm\left(g\cdot\sin\alpha - r\cdot\omega^2\cdot\cos\alpha\right) = \operatorname{tg}\beta\cdot\left(g\cdot\cos\alpha + r\cdot\omega^2\cdot\sin\alpha\right). \tag{7}\] Алгебраические преобразования уравнения (7) приводят к \[g\cdot\sin(\alpha - \beta) = r\cdot\omega^2\cdot\cos(\alpha - \beta), \tag{8}\] \[g\cdot\sin(\alpha + \beta) = r\cdot\omega^2\cdot\cos(\alpha + \beta). \tag{9}\] Это значит, что \[r_{1,2} = \frac{g}{\omega^2}\cdot\operatorname{tg}(\alpha \mp \beta). \tag{10}\] Тело покоится относительно вращающегося стержня в случае \(\alpha > \beta\), если выполняются неравенства \[r_1 \le r \le r_2 \quad\text{при}\quad r_1, r_2 > 0, \tag{11}\] или \[L_1 \le L \le L_2 \quad\text{при}\quad L_1 = r_1/\cos\alpha \quad\text{и}\quad L_2 = r_2/\cos\alpha. \tag{12}\] Тело покоится относительно вращающегося стержня в случае \(\alpha \le \beta\), если выполняются неравенства \[0 \le r \le r_2 \quad\text{при}\quad r_1 = 0 \ (\text{поскольку } r_1 < 0 \text{ не является физическим решением}),\ r_2 > 0. \tag{13}\] Неравенство (13) равносильно \[0 \le L \le L_2 \quad\text{при}\quad L_2 = r_2/\cos\alpha > 0. \tag{14}\]