Шарик на нити: два режима

На шарик массой \(m\), отклонённый от вертикали на некоторый угол \(\alpha\), действуют сила тяжести \(mg\) и сила натяжения нити \(N_i\).

Рассмотрим первый случай, когда шарик вращается в горизонтальной плоскости по окружности радиусом \(r = l\sin\alpha\). Запишем для некоторого момента времени второй закон Ньютона в проекциях на вертикальную ось \(Z\) и на горизонтальную ось \(R\), причём ось \(Z\) направим вверх, а ось \(R\) — к центру окружности: \[ma_z = -mg + N_1\cos\alpha = 0,\qquad ma_r = m\dfrac{v^2}{r} = N_1\sin\alpha.\] Отсюда величина ускорения шарика равна \[a = a_r = \dfrac{N_1\sin\alpha}{m} = \dfrac{mg\sin\alpha}{m\cos\alpha} = g\operatorname{tg}\alpha,\] а его скорость \(v = \sqrt{gl\sin\alpha\operatorname{tg}\alpha}\). Поскольку период обращения равен \[T = \dfrac{2\pi r}{v} = \dfrac{2\pi l\sin\alpha}{\sqrt{gl\sin\alpha\operatorname{tg}\alpha}},\] то \(\cos\alpha = \dfrac{gT^2}{4\pi^2l}\), и сила натяжения нити \(N_1 = \dfrac{mg}{\cos\alpha} = \dfrac{4\pi^2ml}{T^2}\) — постоянная величина.

Для второго случая удобно записать второй закон Ньютона в проекциях на касательную ось \(X\), направленную в данный момент вдоль траектории движения шарика, и на нормальную ось \(Y\), направленную к точке подвеса нити: \[ma_x = mg\sin\alpha,\qquad ma_y = -mg\cos\alpha + N_2.\] Поскольку здесь шарик движется по окружности радиусом \(l\), то его ускорение \(a_y = v^2/l\). Очевидно, что максимум отношения сил натяжения нити \(N_1/N_2\) будет достигаться тогда, когда величина \[N_2 = m\left(\dfrac{v^2}{l} + g\cos\alpha\right)\] принимает минимальное значение, то есть при \(v = 0\), в положении максимального отклонения шарика: \((N_2)_{\min} = mg\cos\alpha\).

Таким образом, максимальное отношение силы натяжения нити в первом случае к силе её натяжения во втором случае равно \[\left(\dfrac{N_1}{N_2}\right)_{\max} = \dfrac{1}{\cos^2\alpha} = \left(\dfrac{2\pi}{T}\right)^4\left(\dfrac{l}{g}\right)^2.\]