Два удара упругих шайб

Как следует из решения предыдущей задачи, после упругого нелобового соударения двух одинаковых шайб, одна из которых покоится, шайбы разлетаются под прямым углом.

Применим это правило к двум последовательным соударениям (см. рис. 1.110). Обозначим конечные скорости трёх шайб через \(\vec v_1\), \(\vec v_2\) и \(\vec v_3\).

Направим координатную ось \(X\) вдоль начальной скорости первой шайбы, а ось \(Y\) — перпендикулярно к ней. Будем считать, что одна из скоростей, например, \(\vec v_1\), равна, как сказано в условии, \(\vec v_0/2\). Тогда проекция скорости первой шайбы после первого удара \(\vec v_1'\) на ось \(X\) должна быть равна \(v_{1x}' = v_1 = v_0/2\), проекция скорости второй шайбы \(\vec v_2\) на ось \(X\) равна \(v_{2x} = v_0 - v_{1x}' = v_0 - \dfrac{v_0}{2} = \dfrac{v_0}{2}\), а проекции скоростей \(\vec v_1'\) и \(\vec v_2\) на ось \(Y\) должны быть равны по величине и противоположны друг другу по знаку. Следовательно, угол \(\alpha\) между векторами \(\vec v_0\) и \(\vec v_1'\) равен \(\pi/4\).

В итоге первая шайба движется со скоростью \(v_0/2\) в том же направлении, в котором она двигалась до ударов, третья имеет скорость \(\vec v_3\), равную по величине \(v_0/2\) и направленную вверх вдоль оси \(Y\), а вторая шайба имеет скорость \(\vec v_2\), равную по величине \(v_0/\sqrt{2}\) и направленную под углом \(\dfrac{\pi}{2} - \alpha = \dfrac{\pi}{4}\) к вектору \(\vec v_0\). Заметим, что это не единственный тип решения: возможно зеркально симметричное относительно оси \(X\) расположение всех векторов, когда вектор \(\vec v_3\) направлен вниз вдоль оси \(Y\), а \(\vec v_2\) — вверх, под углом \(\pi/4\) к оси \(X\). Кроме того, индексы 1, 2 и 3 у конечных скоростей шайб на рис. 1.110 могут располагаться произвольным образом, то есть имеется по \(3! = 6\) решений каждого типа. Таким образом, если все шайбы пронумерованы, то возможны 12 решений этой задачи, и только 2 разных решения, если шайбы неразличимы.