Колебания обруча с шариком

Обозначим малое смещение центра обруча при его перекатывании через \(x\) (см. рис. 1.219), а скорость центра — через \(v\).

Потенциальная энергия обруча с прикреплённым к нему шариком изменится при таком смещении на \(\Delta U = mgR\left(1 - \cos\dfrac{x}{R}\right) \approx mg\cdot\dfrac{x^2}{2R}\). Так как \(m\) и \(M\) одного порядка, то при \(x \ll R\) скорость шарика мала по сравнению с \(v\), и кинетической энергией шарика можно пренебречь. Кинетическая же энергия \(W\) катящегося обруча складывается из кинетической энергии поступательного движения его центра \(W_{\text{п}} = Mv^2/2\) и кинетической энергии вращательного движения вокруг центра \(W_{\text{в}} = Mv^2/2\). Таким образом, \(W = W_{\text{п}} + W_{\text{в}} = Mv^2\). С учётом этого, из закона сохранения механической энергии получаем: \[W + U = Mv^2 + \dfrac{mg}{R}\cdot\dfrac{x^2}{2} = \text{const}.\] Отсюда видно, что данная система колеблется так же, как груз массой \(2M\) на пружине с коэффициентом жёсткости, равным \(mg/R\). Следовательно, период малых колебаний рассматриваемой системы равен \[T = 2\pi\sqrt{\dfrac{2MR}{mg}}.\] Отметим, что приведённое решение совершенно неприменимо при \(M \to 0\). Полученное нами выражение для периода даёт в этом случае \(T \to 0\), что неверно. Можно показать, что при невесомом обруче любые, даже сколь угодно малые, колебания данной системы не являются гармоническими, а их период зависит от амплитуды. При решении такой задачи уже необходимо учитывать кинетическую энергию шарика, которой мы пренебрегали.