Маятник

Упругая энергия стержня зависит только от его формы, то есть от угла изгиба \(\alpha=l/R\); запишите её через \(k\) и \(\alpha\). Устойчивость вертикального положения определяется знаком суммы упругой и гравитационной энергий при малом изгибе.

1) \(T=\pi l\sqrt{2m/k}\);  2) \(M=\dfrac{3k}{2gl}\).

1) Малость колебаний означает, что угол дуги, образуемой стержнем, мал: \(\alpha=l/R\ll1\). Поэтому возвращающая шарик сила почти горизонтальна, \(F=k/R=k\alpha/l\), а горизонтальное смещение шарика \(x=R(1-\cos\alpha)\approx R\alpha^2/2=l\alpha/2\), откуда \(\alpha=2x/l\).

В уравнении горизонтального движения можно пренебречь силой тяжести, которая по порядку величины равна \(mg\alpha\ll\alpha k/l\) (справа здесь как раз стоит сила упругости). Итак, \(m\ddot x=-k\alpha/l=-2kx/l^2\), откуда \(\omega=\sqrt{2k/m}\,/\,l\); период \(T=2\pi/\omega=\pi l\sqrt{2m/k}\).

2) Упругая энергия стержня, очевидно, зависит только от его формы, то есть от радиуса кривизны \(R\), или, что то же самое, от угла изгиба \(\alpha\). Сначала выведем выражение для этой энергии: \(\Pi_r=\int_0^xF\,dx=\int(2kx/l^2)\,dx=kx^2/l^2=k\alpha^2/4\). Её надо сравнить с изменением потенциальной энергии в поле тяжести \(\Pi_g=-mg(l-R\sin\alpha)=-mgl(1-\sin\alpha/\alpha)\approx-mgl\alpha^2/6\). Итак, вертикальное положение устойчиво, если \(k\alpha^2/4-mgl\alpha^2/6>0\), то есть \(3k>2mgl\).

Замечание: наивный баланс сил, действующих на шарик, в направлении, перпендикулярном стержню, приводит к другому результату: \(k>mgl\). Это неверно, потому что если изгибать стержень силой, приложенной к его концу, то малые смещения конца не перпендикулярны стержню (как можно было бы подумать). В частности, это означает, что если на стержень действуют и перпендикулярная сила \(F\), и касательное натяжение \(T\), то радиус кривизны \(R\) будет зависеть и от натяжения \(T\). В нашем решении мы избежали таких осложнений, заметив, что упругая энергия зависит только от формы стержня (если мы изгибаем стержень какой-то силой, оставляя \(T=0\), об этом эффекте можно не беспокоиться).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.