Временная фокусировка

Электрон, прошедший щели позже, должен лететь быстрее, чтобы догнать более ранних. Выразите время пролёта через скорость после щелей в линейном приближении по \(U/U_0\) и потребуйте, чтобы время вылета плюс время пролёта не зависело от момента вылета; решение ищите в виде квадратичной функции.

1) \(t_0=(a+b)\sqrt{m/2U_0e}\);  2) \(t=t_0+\dfrac U{U_0}\dfrac a2\sqrt{\dfrac m{2U_0e}}\);  3) \(U(t)=\dfrac{2U_0^2e}{mab}\,t\left(t-a\sqrt{m/2U_0e}\right)\);  4) \(\dfrac aT\sqrt{\dfrac m{2U_0e}}\).

1) Очевидно, \(t_0=(a+b)/v_0=(a+b)\sqrt{m/2U_0e}\).

2) Очевидно, \(t=a/v_a+b/v_b\approx t_0-[a(v_a-v_0)+b(v_b-v_0)]/v_0^2\). С другой стороны, при постоянном напряжении \(U(t)\) имеем \(v_b=v_0\). Для промежутка между \(B\) и \(C\) имеем \(\Delta(mv^2/2)\approx mv_0(v_a-v_0)=-Ue\). Поэтому \[t=t_0+\frac{Uea}{mv_0^3}=t_0+\frac U{U_0}\,\frac a2\sqrt{\frac m{2U_0e}}.\]

3) Для изменяющегося напряжения можно воспользоваться результатом предыдущего вопроса, но значение напряжения следует брать в момент прохождения электроном щели. Кроме того, конечная скорость изменилась, \(v_1-v_0\) связано с изменением кинетической энергии \(e[U(t+t_a)-U(t)]\). Время пролёта более поздних электронов, проходящих щель \(B\) в некоторый момент времени \(t>0\), должно быть настолько же короче, насколько они запоздали, то есть \[t_1-t_2=\sqrt{\frac m{8U_0^3e}}\left\{a[U(0)-U(t)]+b[U(t+t_a)-U(t)]\right\}=t,\] где время пролёта \(t_a\approx a/v_0\) [так как \(U\ll U_0\)]. Используя предложенное приближение (\(a\ll b\)), получаем \[\sqrt{\frac m{8U_0^3e}}\;b\,[U(t+a/v_0)-U(t)]=t.\] Если искать квадратичное решение \(U(t)=At^2+Bt\), получаем \[2At_a\,(t+t_a/2)+Bt_a=\frac tb\sqrt{\frac{8U_0^3e}{m}}.\] Итак, \[A=\sqrt{\frac{8U_0^3e}{m}}\,\Big/\,2t_ab=\sqrt{\frac{8U_0^3e}{m}}\;\frac{\sqrt{2eU_0/m}}{2ab}=\frac{2U_0^2e}{mab},\qquad B=-At_a.\]

Окончательно получаем \[U(t)=\frac{2U_0^2e}{mab}\,t\left(t-a\sqrt{m/2U_0e}\right).\]

4) Потеряны будут те электроны, которые находятся в промежутке между \(B\) и \(C\) в момент, когда напряжение падает до нуля. Длительность интервала времени, в который они были испущены, равна \(\tau=a/v_0\). Поэтому искомая доля равна \[\tau/T=\frac aT\sqrt{m/2U_0e}.\]

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.