Полёт на Марс
(10 баллов)
В этой задаче изучается проект полёта на Марс. На первом этапе космический корабль включает ракетные двигатели и приобретает начальную скорость \(v_0\). Можно считать, что на первом этапе высота корабля (над поверхностью Земли) остаётся много меньше радиуса Земли \(R_0=6400\) км. На втором этапе корабль совершает баллистическое движение в поле тяготения Земли до достижения высоты, которая много больше радиуса Земли \(R_0\), но много меньше радиуса орбиты Земли \(R_e=1{,}5\cdot10^8\) км.
1) Найдите связь между остаточной скоростью \(v_1\) (относительно Земли) в конце второго этапа и величинами \(v_0\), \(R_0\) и ускорением свободного падения у поверхности Земли \(g\) (в последующих вопросах можно использовать численное значение \(g\approx9{,}8\) м/с\(^2\)).
На третьем этапе корабль совершает баллистическое движение в поле тяготения Солнца до достижения непосредственной окрестности Марса. Траектория выбирается так, чтобы минимизировать остаточную стартовую скорость \(v_1\) (необходимую для достижения Марса).
2) Изобразите траекторию.
3) Найдите время полёта \(T\). Можно использовать следующие численные данные: орбитальная скорость Земли \(v_e=30\) км/с, радиус орбиты Марса \(R_m=2{,}3\cdot10^8\) км.
4) Найдите рассматривавшуюся ранее стартовую скорость \(v_0\) и конечную (то есть в конце третьего этапа) скорость \(v_t\) корабля относительно Марса.
5) Необходимую массу топлива \(M\) можно найти по формуле \(v=u\ln[(M+m)/m]\), где \(u\) — скорость газа на выходе из двигателя (относительно корабля), а \(m\) — полезная масса корабля (когда всё топливо израсходовано). Можно считать \(m\ll M\) и использовать численное значение \(u=1\) км/с. Найдите, во сколько раз больше топлива нужно для полёта на Марс по сравнению с простым выходом из поля тяготения Земли, если полезная масса корабля в обоих случаях одинакова.
▶ПодсказкаСкрыть: подсказка
ПодсказкаВыгоднее всего эллиптическая траектория, касающаяся орбит Земли и Марса; её время полёта даёт третий закон Кеплера, а остаточную скорость — закон сохранения энергии в поле Солнца. Не забудьте, что скорость \(v_0\) при старте с Земли включает ещё и вторую космическую.
▶ОтветСкрыть: ответ
Ответ1) \(v_1^2=v_0^2-2gR_0\); 2) эллипс, касающийся орбиты Земли в перигелии и орбиты Марса в афелии; 3) \(T\approx0{,}70\) года; 4) \(v_1\approx2{,}86\) км/с, \(v_0\approx11{,}6\) км/с, \(v_t\approx2{,}59\) км/с (по модулю); 5) в \(e^{0{,}4}\approx1{,}5\) раза.
▶РешениеСкрыть: решение
Решение1) Очевидно, \(v_1^2=v_0^2-2gR_0\).
2) Траектория — эллипс, касающийся орбиты Земли в перигелии и орбиты Марса в афелии.
3) Согласно третьему закону Кеплера, время \(T=\dfrac12T_0\,(a/R_e)^{3/2}\), где \(T_0=1\) год — период обращения Земли, а \(a=(R_e+R_m)/2\) — большая полуось траектории. Численно \(T=0{,}70\) года.
4) Полная энергия (кинетическая плюс потенциальная) космического корабля равна \(E=-GMm/2a=-GMm/(R_e+R_m)=-GMm/R_e+\dfrac m2(v_1+v_e)^2\), где \(M\) — масса Солнца. Поэтому \[\frac12(v_1+v_e)^2=G\frac{R_m}{R_e(R_e+R_m)}=v_e^2\,\frac{R_m}{R_e+R_m}\] и \[v_1=v_e\left(\sqrt{\frac{2R_m}{R_e+R_m}}-1\right)\approx0{,}095\,v_e\approx2{,}86\text{ км/с}.\] Следовательно, \(v_0=\sqrt{11{,}2^2+2{,}86^2}=11{,}6\) км/с.
Относительную скорость вблизи Марса можно записать с помощью соответствующей замены индексов в выражении для \(v_1\) (либо найти аналогично \(v_1\)): сначала найдём скорость относительно Солнца из выражения для полной энергии: \[v_3=v_m\left(\sqrt{\frac{2R_e}{R_e+R_m}}-1\right)\approx-0{,}106\,v_e\sqrt{\frac{R_e}{R_m}}\approx-2{,}59\text{ км/с}.\]
5) Очевидно, \(M_i=m\,e^{v_i/u}\), так что \(M_a/M_b=e^{(v_a-v_b)/u}=e^{0{,}4}\approx1{,}5\).
Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.
Похожие задачи
- Двойная звезда МОШ 1960/1986, заключительный этап, 8-11 кл.
- Период обращения Нептуна МОШ 1960/1986, заключительный этап, 8-11 кл.
- Венера Эстонская 2006/07, заключительный этап, 9-11 кл.
- Двойная звезда «Шаг в будущее» 2010/11, заключительный этап, 11 кл.
- Нептун и период обращения СПбГУ 2011/12, заключительный этап, 9 кл.
- Двойная звезда Сириус Курчатов 2012/13, отборочный этап, 10 кл.