Шайбы в конической воронке

Рассмотрим движение одной из шайб с постоянной скоростью \(v\) по окружности радиусом \(R\) на высоте \(h\) от вершины конуса. На шайбу действуют сила тяжести \(mg\) и сила реакции \(N\) со стороны воронки (см. рис. 1.86).

Уравнения движения шайбы в проекциях на вертикальное и радиальное направления имеют вид: \(N\sin\alpha = mg\) и \(N\cos\alpha = mv^2/R\), где \(\alpha\) — угол полураствора конуса. Кроме того, \(R = h\operatorname{tg}\alpha\). Из этих уравнений получаем: \(v = \sqrt{gh}\), и период обращения \(T = 2\pi R/v = 2\pi\operatorname{tg}\alpha\sqrt{h/g}\). Таким образом, аналог третьего закона Кеплера для описанных в условии шайб имеет вид: \(\dfrac{T_1^2}{T_2^2} = \dfrac{h_1}{h_2}\).