Шарик на пружине во вращающейся трубке

Шарик движется по окружности, и центростремительное ускорение ему даёт сила пружины. Запишите это условие и решите графически: прямая из точки \(\Delta l=-l_0\) пересекает график \(F(\Delta l)\). Сколько получается пересечений? Какие из положений устойчивы?

Положение шарика определяется уравнением \(F(\Delta l)=m\omega^2\,(l_0+\Delta l)\). При росте \(\omega\) смещение плавно растёт от \(0\) до \(\approx2{,}1\) см (при \(\omega_1\), \(m\omega_1^2\approx0{,}39\) Н/см), затем скачком переходит к \(\approx5{,}2\) см и плавно доходит до \(7\) см при \(\omega\approx1{,}19\,\omega_1\) (там \(F=5\) Н). При уменьшении \(\omega\) смещение плавно падает до \(\approx4{,}0\) см (при \(\omega_2\approx0{,}97\,\omega_1\)), затем скачком уменьшается до \(\approx1{,}3\) см и плавно доходит до нуля: зависимость имеет петлю гистерезиса.

Что происходит. Трубка вращается с угловой скоростью \(\omega\), шарик движется по окружности радиуса \(r=l_0+\Delta l\), где \(\Delta l\) — удлинение пружины. Центростремительное ускорение ему сообщает сила упругости пружины, поэтому положения равновесия шарика находятся из уравнения \(F(\Delta l)=m\omega^2\,(l_0+\Delta l)\). Так как график \(F(\Delta l)\) имеет участок «S-образной» формы, при некоторых \(\omega\) уравнение имеет три решения, и зависимость \(\Delta l(\omega)\) получается неоднозначной.

Обозначения. \(\Delta l\) — смещение шарика вдоль трубки, то есть удлинение пружины; \(F(\Delta l)\) — сила упругости по рис. 2, б; \(l_0=2\) см. Угловую скорость меняем медленно: при каждом \(\omega\) шарик успевает занять равновесное положение. Трубка горизонтальна, трения нет. Массу \(m\) не задали, поэтому ответ строим для величины \(\kappa=m\omega^2\) (она растёт вместе с \(\omega\)) и в конце переходим к \(\omega\).

1. Второй закон Ньютона для шарика. В инерциальной системе отсчёта шарик равномерно движется по окружности радиуса \(l_0+\Delta l\). В горизонтальной плоскости вдоль трубки на него действует только сила пружины (стенки трубки давят на шарик перпендикулярно оси трубки, но шарик не ускоряется поперёк неё — угловая скорость постоянна, радиус не меняется, — поэтому это давление равно нулю). Ускорение направлено к оси: \[F(\Delta l)=m\omega^2\,(l_0+\Delta l)\quad\Longleftrightarrow\quad \frac{F(\Delta l)}{l_0+\Delta l}=\kappa,\qquad \kappa=m\omega^2 .\]

2. Графическое решение. Правая часть \(m\omega^2\,(l_0+\Delta l)\) — прямая линия, выходящая из точки \(\Delta l=-l_0\) с угловым коэффициентом \(\kappa\). Положение шарика — точка пересечения этой прямой с графиком силы упругости.

На рисунке три прямые, (i), (ii), (iii), для растущих \(\omega\). У прямой (i) (малая \(\omega\)) пересечение одно, около начала графика. Прямая (ii) (средняя \(\omega\)) пересекает график трижды. У прямой (iii) (большая \(\omega\)) снова одно пересечение, теперь на крутом конце графика.

3. Устойчивость. Равновесие шарика устойчиво, если после небольшого смещения вдоль трубки равнодействующая \(F-m\omega^2\,(l_0+\Delta l)\), направленная к оси, возрастает вместе с \(\Delta l\): сместился наружу — вернула, внутрь — оттолкнула. Условие: \(F'(\Delta l)>m\omega^2\). Но \[\frac{d}{d\Delta l}\left[\frac{F}{l_0+\Delta l}\right]=\frac{F'\,(l_0+\Delta l)-F}{(l_0+\Delta l)^2}>0 \iff F'>\frac{F}{l_0+\Delta l}=\kappa ,\] то есть положение устойчиво на тех участках, где функция \(\kappa(\Delta l)=\dfrac{F}{l_0+\Delta l}\) возрастает. Построим её по графику рис. 2, б (чтение графика, \(l_0=2\) см):

Функция \(\kappa(\Delta l)\) растёт от нуля до максимума \(\kappa_1\approx0{,}39\) Н/см при \(\Delta l\approx2{,}1\) см, затем убывает до минимума \(\kappa_2\approx0{,}37\) Н/см при \(\Delta l\approx4{,}0\) см и снова растёт. Участок убывания (\(2{,}1\)–\(4{,}0\) см) — неустойчивые положения: шарик там не удержится.

4. Угловая скорость растёт. Пока \(\kappa<\kappa_1\), шарик остаётся на нижней ветви, и \(\Delta l\) плавно растёт от нуля. Равновесие на нижней ветви существует до \(\Delta l\approx2{,}1\) см, то есть до \(\omega_1=\sqrt{\kappa_1/m}\), \(m\omega_1^2\approx0{,}39\ \text{Н/см}=39\ \text{Н/м}\). При малом превышении \(\omega_1\) нижней ветви уже нет, и шарик быстро перебегает на верхнюю ветвь, где \(\kappa=\kappa_1\) при \(\Delta l\approx5{,}2\) см: скачок \(2{,}1\to5{,}2\) см. Дальше смещение плавно растёт до \(7\) см, когда \(F=5\) Н: \(\kappa=\dfrac{5}{2+7}\approx0{,}56\) Н/см, то есть \(\omega=\sqrt{0{,}56/0{,}39}\;\omega_1\approx1{,}19\,\omega_1\).

5. Угловая скорость убывает. Из конца \(\Delta l=7\) см шарик идёт по верхней ветви вниз: смещение плавно уменьшается до \(\Delta l\approx4{,}0\) см (минимум \(\kappa\)) при \(\omega_2=\sqrt{\kappa_2/m}\approx\sqrt{0{,}37/0{,}39}\;\omega_1\approx0{,}97\,\omega_1\). Ниже \(\omega_2\) верхней ветви нет, и шарик быстро переходит на нижнюю ветвь, где \(\kappa=\kappa_2\) при \(\Delta l\approx1{,}3\) см: скачок \(4{,}0\to1{,}3\) см. Дальше смещение плавно убывает до нуля.

При \(\omega_2<\omega<\omega_1\) возможны два устойчивых положения, и какое из них занято, зависит от того, как к этой скорости пришли — прибавляя или убавляя. Скачки при росте и при убывании \(\omega\) происходят при разных скоростях: график замкнут петлёй (гистерезис), узкой — ширина около \(3\,\%\) по \(\omega\).

Обратите внимание: пересечения прямой с графиком на участке убывания \(\kappa(\Delta l)\) (светлая точка на рисунке) — это неустойчивое равновесие: шарик в нём не остановится, его можно «поймать» только мысленно. Поэтому при подходе к \(\omega_1\) шарик не движется по этому участку, а прыгает.

Ответ: смещение шарика определяется уравнением \(F(\Delta l)=m\omega^2\,(l_0+\Delta l)\). При росте \(\omega\) от нуля смещение растёт плавно до \(\approx2{,}1\) см, при \(\omega_1\) (\(m\omega_1^2\approx39\) Н/м) скачком возрастает до \(\approx5{,}2\) см, далее плавно до \(7\) см при \(\omega\approx1{,}19\,\omega_1\). При убывании \(\omega\) смещение плавно падает до \(\approx4{,}0\) см, при \(\omega_2\approx0{,}97\,\omega_1\) скачком уменьшается до \(\approx1{,}3\) см, затем плавно до нуля: зависимость \(\Delta l(\omega)\) имеет петлю гистерезиса.

Проверка. Размерность: \(\kappa=m\omega^2\) — это \(\text{кг/с}^2=\text{Н/м}\), как жёсткость; \(F/(l_0+\Delta l)\) — тоже Н/см. Предел малых \(\omega\): график \(F(\Delta l)\) идёт из нуля с наклоном \(F'(0)\approx1{,}6\) Н/см, и \(\Delta l\approx m\omega^2\,l_0/F'(0)\) растёт как \(\omega^2\) — так и идёт нижняя ветвь на рисунке. Второй взгляд: у линейной пружины \(F=k\,\Delta l\) функция \(\kappa=\dfrac{k\,\Delta l}{l_0+\Delta l}\) монотонно растёт, пересечение одно, скачков нет; петля возникает именно из-за участка графика с малой жёсткостью, где \(F'<\kappa\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.