Бусинка на палочке

Куда движется середина гипотенузы прямоугольного треугольника при скольжении палочки? Найдите ускорение бусинки, а силу — из второго закона Ньютона для неё.

\(F=m\left(g-\dfrac{v^2}{\sqrt2\,l}\right)\), сила направлена вертикально вниз при \(v^2<\sqrt2\,gl\) и вертикально вверх при \(v^2>\sqrt2\,gl\).

Что происходит. Бусинка находится в середине палочки, а середина гипотенузы прямоугольного треугольника \(OAB\) отстоит от вершины прямого угла \(O\) на расстояние \(l\) (медиана к гипотенузе равна её половине). Значит, бусинка всё время движется по дуге окружности радиуса \(l\) с центром в \(O\). Если найти ускорение бусинки, то силу, с которой на неё действует палочка, даст второй закон Ньютона, а по третьему закону Ньютона с такой же по модулю силой бусинка действует на палочку.

Обозначения. Ось \(x\) — вдоль пола вправо от угла \(O\), ось \(y\) — вдоль стены вверх. Плоскость вертикальна (на рисунке — пол и стена), поэтому на бусинку действует сила тяжести \(m\vec g\). Палочку считаем невесомой, трения на её концах нет. \((x,\,y)\) — координаты бусинки \(C\), \(x_B\) — координата точки \(B\). Точки над величинами — производные по времени.

1. Координаты бусинки. Бусинка — середина отрезка \(AB\), где \(A\,(0,\;2l\cos\alpha)\) и \(B\,(2l\sin\alpha,\;0)\). Поэтому \[x=l\sin\alpha=\frac{x_B}{2},\qquad y=l\cos\alpha=\sqrt{l^2-x^2}.\] Скорость точки \(B\) постоянна: \(\dot x_B=v\). Отсюда \(\dot x=\dfrac v2\) и \(\ddot x=0\).

2. Ускорение вдоль оси \(x\). Горизонтальная координата бусинки меняется равномерно, поэтому \(a_x=\ddot x=0\).

3. Ускорение вдоль оси \(y\). Продифференцируем \(y=\sqrt{l^2-x^2}\) дважды, учитывая \(\ddot x=0\) и \(x^2+y^2=l^2\): \[\dot y=-\frac{x\dot x}{y},\qquad \ddot y=-\frac{\dot x^{2}}{y}-\frac{x^{2}\dot x^{2}}{y^{3}}=-\frac{\dot x^{2}\,(x^{2}+y^{2})}{y^{3}}=-\frac{\dot x^{2}\,l^{2}}{y^{3}} .\] При \(\alpha=45^\circ\) имеем \(y=l/\sqrt2\), \(\dot x=v/2\): \[a_y=-\frac{v^2}{4}\cdot\frac{l^2\cdot 2\sqrt2}{l^3}=-\frac{v^2}{\sqrt2\,l}.\] Ускорение бусинки направлено вертикально вниз, его модуль \(a=\dfrac{v^2}{\sqrt2\,l}\).

4. Второй закон Ньютона для бусинки. На бусинку действуют сила тяжести \(m\vec g\) и сила \(\vec F\) со стороны палочки: \[m\vec a=m\vec g+\vec F .\] В проекции на ось \(x\) получаем \(0=F_x\), в проекции на ось \(y\): \(-ma=-mg+F_y\). Отсюда \[F_y=m\,(g-a)=m\left(g-\frac{v^2}{\sqrt2\,l}\right).\] Сила палочки на бусинку направлена вертикально, вверх при \(g>a\).

5. Третий закон Ньютона. Бусинка действует на палочку с силой \(\vec F'=-\vec F\), то же значение по модулю, направление противоположное.

Обратите внимание: сила палочки на бусинку не направлена ни вдоль палочки, ни поперёк неё — она вертикальна. Это не странно: бусинка закреплена, и палочка может действовать на неё в любом направлении. Нормальная и касательная составляющие ускорения при \(45^\circ\) равны друг другу, а в сумме дают вертикальный вектор (правая часть первого рисунка).

Ответ: \(F=m\left(g-\dfrac{v^2}{\sqrt2\,l}\right)\); сила направлена вертикально вниз, если \(v^2<\sqrt2\,gl\), и вертикально вверх, если \(v^2>\sqrt2\,gl\).

Проверка. Размерность: \(mv^2/l\) — это \(\text{кг}\cdot\text{м}^2\text{/с}^2/\text{м}=\text{Н}\), как и \(mg\). Предел \(v\to0\): бусинка почти не ускоряется, палочка просто держит её, \(F\to mg\). Второй способ: бусинка движется по окружности радиуса \(l\) с угловой скоростью \(\dot\alpha=\dfrac{v}{2l\cos\alpha}\) (из \(x_B=2l\sin\alpha\)). При \(45^\circ\) получаем \(\dot\alpha^2=\dfrac{v^2}{2l^2}\), нормальное ускорение \(a_n=l\dot\alpha^2=\dfrac{v^2}{2l}\). Дифференцируя ещё раз, находим \(\ddot\alpha=\dfrac{v^2\sin\alpha}{4l^2\cos^3\alpha}=\dfrac{v^2}{2l^2}\), касательное ускорение \(a_\tau=l\ddot\alpha=\dfrac{v^2}{2l}\). Они взаимно перпендикулярны и равны, их сумма имеет модуль \(\sqrt2\cdot\dfrac{v^2}{2l}=\dfrac{v^2}{\sqrt2\,l}\) — тот же результат, и направлена она вертикально, как в первом способе.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.