Линейка эллипсографа

Какую фигуру образуют точки \(O\), \(A\), \(B\) в любой момент времени? Где находится середина гипотенузы прямоугольного треугольника?

Ясно, что заданное движение ползунов возможно, поскольку расстояние между ними в любой момент времени равно длине несжимаемого стержня. При этом данные зависимости реализуются в случае колебаний ползунов: \(A\) — вдоль оси \(x\), \(B\) — вдоль оси \(y\). Поэтому в любой момент времени треугольник \(ABO\) — прямоугольный, а точка \(C\) лежит на середине гипотенузы и, согласно свойству прямоугольного треугольника, находится от вершины прямого угла на расстоянии, равном половине гипотенузы (т. е. половине длины стержня). Поэтому траектория её движения — окружность радиуса \(l/2\) с центром в начале координат.

Очевидно, отрезок \(OC\) вращается с постоянной скоростью. Действительно, чтобы зависимости \(OA = l\cos\omega t\), \(OB = l\sin\omega t\) имели место, угол \(OAB\) должен линейно зависеть от времени: \(\angle OAB = \omega t\). А поскольку треугольник \(OAC\) прямоугольный, \(\angle AOB = \angle OAB = \omega t\). Это значит, что точка \(C\) равномерно вращается с угловой скоростью \(\omega\) по окружности радиуса \(l/2\). Поэтому ускорение точки \(C\) в любой момент направлено к началу координат и равно \[a = \omega^2 \frac{l}{2}.\] От угла между стержнем и осью не зависит.