ИОШ, 2017/18, отборочный этап, 11 класс

Подсказка

Выпишите массу кислоты и массу раствора до и после возвращения выпаренной порции. Что при выпаривании меняется, а что остаётся неизменным?

Ответ

\(36\,\%\).

Решение

Пусть масса кислоты в растворе \(m\), масса раствора (до выпаривания воды) \(M\). Тогда концентрация раствора до выпаривания равна \[C = \frac{m}{M}.\] Для выпаривания взяли \(0{,}2M\) (содержащих \(0{,}2m\) кислоты) и выпарили так, что концентрация этой порции возросла вдвое. Для этого полная масса выпариваемого раствора должна уменьшиться вдвое, т. е. стать \(0{,}1M\). Поэтому полная масса раствора (после смешивания) равна \(0{,}8M + 0{,}1M = 0{,}9M\) при условии, что масса кислоты в растворе не изменилась. Новая концентрация раствора равна \[C_1 = \frac{m}{0{,}9M} = \frac{C}{0{,}9}.\] Отсюда \[C = 0{,}9\,C_1 = 36\,\%.\]

Подсказка

Расход воды через малое отверстие определяется перепадом давлений до и после него. Сравните перепады давлений в первом и втором случае и выясните, меняются ли они в процессе вытекания.

Ответ

\(t = 2\cdot 10^3\ \text{с}\).

Решение

Очевидно, количество воды, протекающей в единицу времени через малое отверстие (расход воды), определяется перепадом давлений в жидкости до и после отверстия. При том же самом перепаде давлений и площади отверстия расход воды будет тем же самым. Найдём перепад давлений в первом и втором случае.

В первом случае в момент начала вытекания воды перепад давлений определяется высотой столба воды над поршнем и равен \[\Delta p_1 = \rho g h = 10^3\ \text{Па}.\] Во втором случае избыточное давление под поршнем создаётся благодаря его притяжению к Земле и равно \[\Delta p_2 = \frac{mg}{S} = 10^3\ \text{Па}.\] При этом перепад давлений во втором случае не меняется в процессе перетекания воды. Действительно, когда часть воды перетечёт из-под поршня, давление под поршнем увеличится и станет равно избыточному давлению, создаваемому поршнем, плюс давление столба перетекшей жидкости (см. рисунок). Но на величину давления столба перетекшей жидкости увеличится и давление воды перед отверстием. Поэтому перепад давлений до и после отверстия не меняется в процессе перетекания воды и, следовательно, не меняется и скорость перетекания воды.

Отсюда находим время перетекания воды: \[t = \frac{V}{v} = \frac{hS}{v} = 2\cdot 10^3\ \text{с}.\]

Подсказка

Ток через амперметр совпадает с током через \(AB\) только тогда, когда ток к узлу \(A\) не может уйти в другие ветви. Когда ток в ветви не течёт? Что нужно сделать с потенциалами узлов, связанных с \(A\)?

Ответ

\(R_{AB} = \dfrac{U_{AB}}{I_{AB}}\), где \(U_{AB}\) — показание вольтметра, подключённого к точкам \(A\) и \(B\), а \(I_{AB}\) — показание амперметра в схеме, где положительный полюс источника соединён с точками \(C\), \(D\), \(E\) и \(F\) (см. рисунок решения).

Решение

Чтобы найти величину неизвестного сопротивления, необходимо включить его в какую-то электрическую цепь, измерить ток через него, электрическое напряжение на нём и использовать закон Ома. Включить сопротивление \(AB\) в цепь мы можем, поскольку у нас есть источник, который можно подключить к любым точкам цепи (например, \(A\) и \(B\)). Напряжение на сопротивлении \(AB\) тоже можно измерить, подключая вольтметр к точкам \(A\) и \(B\). А как измерить ток через это сопротивление? По условию нельзя «врезаться» ни в какие провода данной цепи. Значит, ток можно мерить только в подводящих проводах, а он будет разветвляться и течь через все сопротивления. Например, при соединении, показанном на рисунке, показания амперметра не будут совпадать с током через сопротивление \(AB\).

Но если заставить ток, текущий к узлу \(A\), течь только через сопротивление \(AB\), но не через какие-либо другие участки данной цепи, тогда, измеряя этот ток и напряжение на участке \(AB\), можно по закону Ома найти сопротивление участка цепи: \[R_{AB} = \frac{U_{AB}}{I_{AB}}.\] Для этого сделаем потенциалы всех вершин цепи, соединённых с вершиной \(A\), равными потенциалу вершины \(A\): тогда ток к этим вершинам не потечёт. Для этого нужно дополнительно соединить клеммы источника (до амперметра!) со всеми узлами, с которыми связаны точки \(A\) и \(B\) (положительный полюс источника нужно связать с точками \(C\), \(D\), \(E\) и \(F\), см. рисунок). Тогда ток через сопротивление \(AB\) будет равен току через амперметр. Конечно, в этом случае ток через источник будет другим, поскольку часть тока будет уходить через точки \(C\), \(D\), \(E\) и \(F\) в другие элементы цепи. Но для измерения сопротивления резистора \(AB\) это совершенно неважно: его величину можно найти по формуле (1) через показания амперметра и вольтметра при показанном на рисунке их подключении.

Подсказка

Какую кинетическую энергию за секунду получает песок, когда лента разгоняет его до своей скорости? Оцените, сколько работы за то же время совершают силы трения.

Ответ

\(P = \mu v^2 = 20\ \text{Вт}\).

Решение

Из условия следует, что никакие потери мощности на трение в валках транспортёра учитывать не нужно. Поэтому основной источник потерь в данной системе — это «разгон» песчинок до скорости ленты и потери на трение песчинок о ленту (если бы трения песчинок о ленту не было, лента не смогла бы переместить песок).

За малое время \(\Delta t\) на ленту падает масса песка \(\mu\,\Delta t\), которую лента разгоняет до своей скорости, т. е. совершает работу \[\Delta A = \frac{\mu\,\Delta t\,v^2}{2}.\] Отсюда находим мощность, которую должен развивать транспортёр для разгона песка: \[P = \frac{\Delta A}{\Delta t} = \frac{\mu v^2}{2}.\] Очевидно, мощность потерь на трение песчинок о ленту такая же. Действительно, чтобы разогнать песок до своей скорости, лента должна переместиться на расстояние, равное удвоенному перемещению песчинок, откуда и следует сделанное выше утверждение. Поэтому оценка мощности двигателя: \[P = \mu v^2 = 20\ \text{Вт}.\] Конечно, сделанная оценка мощности двигателя транспортёра весьма сильно отличается от реальной, поскольку главным механизмом затраты мощности является работа против сил трения в валках, которая зависит от полного количества песка на ленте и её длины.

Подсказка

Какую фигуру образуют точки \(O\), \(A\), \(B\) в любой момент времени? Где находится середина гипотенузы прямоугольного треугольника?

Ответ

Окружность радиуса \(l/2\) с центром в начале координат; ускорение точки \(C\) равно \(a = \omega^2 l/2\), направлено к началу координат и не зависит от угла наклона стержня.

Решение

Ясно, что заданное движение ползунов возможно, поскольку расстояние между ними в любой момент времени равно длине несжимаемого стержня. При этом данные зависимости реализуются в случае колебаний ползунов: \(A\) — вдоль оси \(x\), \(B\) — вдоль оси \(y\). Поэтому в любой момент времени треугольник \(ABO\) — прямоугольный, а точка \(C\) лежит на середине гипотенузы и, согласно свойству прямоугольного треугольника, находится от вершины прямого угла на расстоянии, равном половине гипотенузы (т. е. половине длины стержня). Поэтому траектория её движения — окружность радиуса \(l/2\) с центром в начале координат.

Очевидно, отрезок \(OC\) вращается с постоянной скоростью. Действительно, чтобы зависимости \(OA = l\cos\omega t\), \(OB = l\sin\omega t\) имели место, угол \(OAB\) должен линейно зависеть от времени: \(\angle OAB = \omega t\). А поскольку треугольник \(OAC\) прямоугольный, \(\angle AOB = \angle OAB = \omega t\). Это значит, что точка \(C\) равномерно вращается с угловой скоростью \(\omega\) по окружности радиуса \(l/2\). Поэтому ускорение точки \(C\) в любой момент направлено к началу координат и равно \[a = \omega^2 \frac{l}{2}.\] От угла между стержнем и осью не зависит.

Подсказка

Рассмотрите два стационарных режима: в первом всё тепло нагревателя уходит в воздух, во втором тепло поступает из воздуха и нагревает проточную воду. Теплообмен с воздухом в обоих случаях пропорционален разности температур с одним и тем же коэффициентом.

Ответ

\(\mu = 7{,}1\ \text{г/с}\).

Решение

Очевидно, и в первом, и во втором случае аквариум будет обмениваться теплом с окружающим воздухом, поскольку будет иметь другую температуру.

В первом случае (когда в аквариуме работает нагреватель) рассмотрим сначала отдачу тепла аквариумом окружающей среде. В этом случае температура воды в аквариуме \(t_1 = 25\,^\circ\text{C}\) и не меняется, при том что в аквариуме работает нагреватель. Это значит, что всё тепло, выделяемое нагревателем, уходит в окружающую среду. А поскольку оно пропорционально разности температур аквариума и окружающей среды, получаем \[P = k\,(t_1 - t_0),\] где \(k\) — коэффициент пропорциональности, зависящий от геометрии аквариума и его теплоизоляции, но не зависящий от температур аквариума и окружающей среды.

Во втором случае тепло поступает уже в аквариум из окружающей среды, причём количество тепла, поступившего в единицу времени, равно теплу, которое нужно, чтобы нагреть водопроводную воду, поступающую в систему охлаждения в секунду, до температуры воды в аквариуме. Это тепло пропорционально разности температур воды в аквариуме и окружающего воздуха, причём с тем же самым коэффициентом пропорциональности \(k\), поскольку геометрия аквариума и его теплоизоляция не изменились (об этом ничего не сказано в условии). Поэтому \[c\,\mu\,(t_2 - t_3) = k\,(t_0 - t_2),\] где \(\mu\) — расход водопроводной воды (масса в секунду).

Используя теперь коэффициент \(k\) из первого случая, получим \[\mu = \frac{k\,(t_0 - t_2)}{c\,(t_2 - t_3)} = \frac{P\,(t_0 - t_2)}{c\,(t_2 - t_3)\,(t_1 - t_0)} \approx 7{,}1\ \text{г/с}.\]