Стержень в двугранном угле

Длина стержня постоянна. Запишите её через расстояния \(OA\) и \(OB\) от вершины угла до концов стержня и найдите связь между их скоростями за малое время.

За малое время \(\Delta t\) нижний конец стержня переместится на \(v\Delta t\), и расстояние от вершины угла до этого конца станет равно \(OB' = OB + v\Delta t\). За то же время верхний конец переместится на \(u\Delta t\), и расстояние от него до вершины станет \(OA' = OA - u\Delta t\). Длина стержня постоянна: \[OA^2 + OB^2 + 2\,OA\cdot OB\cos\alpha = OA'^2 + OB'^2 + 2\,OA'\cdot OB'\cos\alpha .\] Поскольку \(\Delta t\) мало, \(OA'^2 \approx OA^2 - 2\,OA\cdot u\Delta t\), \(OB'^2 \approx OB^2 + 2\,OB\cdot v\Delta t\), \(OA'\cdot OB' \approx OA\cdot OB + OA\cdot v\Delta t - OB\cdot u\Delta t\). Подставляя эти соотношения и приводя подобные слагаемые, получим \[OB\cdot v - OA\cdot u + \cos\alpha\,(OA\cdot v - OB\cdot u) = 0,\] откуда \[u = \frac{OB + OA\cos\alpha}{OA + OB\cos\alpha}\,v = \frac{1 + 2\cos\alpha}{2 + \cos\alpha}\,v = \frac{4}{5}\,v .\]