Курчатов, 2014/15, заключительный этап, 10 класс

Подсказка

Длина стержня постоянна. Запишите её через расстояния \(OA\) и \(OB\) от вершины угла до концов стержня и найдите связь между их скоростями за малое время.

Ответ

\(u = \dfrac{4}{5}\,v\).

Решение

За малое время \(\Delta t\) нижний конец стержня переместится на \(v\Delta t\), и расстояние от вершины угла до этого конца станет равно \(OB' = OB + v\Delta t\). За то же время верхний конец переместится на \(u\Delta t\), и расстояние от него до вершины станет \(OA' = OA - u\Delta t\). Длина стержня постоянна: \[OA^2 + OB^2 + 2\,OA\cdot OB\cos\alpha = OA'^2 + OB'^2 + 2\,OA'\cdot OB'\cos\alpha .\] Поскольку \(\Delta t\) мало, \(OA'^2 \approx OA^2 - 2\,OA\cdot u\Delta t\), \(OB'^2 \approx OB^2 + 2\,OB\cdot v\Delta t\), \(OA'\cdot OB' \approx OA\cdot OB + OA\cdot v\Delta t - OB\cdot u\Delta t\). Подставляя эти соотношения и приводя подобные слагаемые, получим \[OB\cdot v - OA\cdot u + \cos\alpha\,(OA\cdot v - OB\cdot u) = 0,\] откуда \[u = \frac{OB + OA\cos\alpha}{OA + OB\cos\alpha}\,v = \frac{1 + 2\cos\alpha}{2 + \cos\alpha}\,v = \frac{4}{5}\,v .\]

Подсказка

Чтобы увидеть всю картину в зеркале, нужно видеть отражение каждого её края. Постройте отражения краёв картины в плоскости зеркала.

Ответ

Только из точки \(A\).

Решение

Чтобы полностью увидеть отражение картины, необходимо и достаточно видеть отражение каждого из её краёв. Поэтому из каждого края картины проведём луч в каждый край зеркала и для каждого падающего луча построим отражённый. Пересечение областей, из которых видны края картины, на рисунке решения закрашено. Из рисунка ясно, что полностью отражение картины можно увидеть только из точки \(A\). Из точки \(B\) отражение видно частично, из точки \(C\) не видно совсем.

Подсказка

Сила натяжения нити равна разности силы тяжести и силы Архимеда. Для нагрева и напряжения используйте мощность, выделяющуюся внутри аккумулятора при токе.

Ответ

1) \(\rho \approx 1{,}1\text{ г/см}^3\);  2) \(c = 200\ \dfrac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot\text{град}}\);  3) \(R = 0{,}95\text{ Ом}\);  4) \(\Delta t = 0{,}375\,^{\circ}\text{C}\).

Решение

Сила натяжения нити равна разности действующих на аккумулятор силы тяжести и силы Архимеда: \(T = mg - \rho_0 g V = (\rho - \rho_0) g V = 5\text{ Н}\), где \(V\) — объём аккумулятора, \(m\) — его масса. Преобразуем это выражение: \(T = \left(1 - \dfrac{\rho_0}{\rho}\right)mg\), откуда \(\dfrac{\rho_0}{\rho} = 1 - \dfrac{T}{mg} = 0{,}9\). Поэтому средняя плотность аккумулятора \(\rho = \rho_0/0{,}9 \approx 1{,}1\text{ г/см}^3\).

Средняя удельная теплоёмкость аккумулятора равна отношению подведённого к нему количества теплоты к изменению его температуры и к массе \(m = 5\text{ кг}\): \[c = \frac{5\text{ кДж}}{5\text{ кг}\cdot 5\text{ град}} = 200\ \frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot\text{град}} .\]

При подключении резистора напряжение на выводах аккумулятора уменьшилось на \(5\,\%\) и стало равным \(4{,}75\text{ В}\). Сопротивление резистора найдём как отношение напряжения на выводах аккумулятора к силе тока: \[R = \frac{4{,}75\text{ В}}{5\text{ А}} = 0{,}95\text{ Ом} .\]

При работе с нагрузкой на внутреннем сопротивлении аккумулятора выделяется мощность \((5\text{ В} - 4{,}75\text{ В})\cdot 5\text{ А} = 1{,}25\text{ Вт}\), которая идёт на нагревание аккумулятора. За \(5\) минут в нём выделится \(Q = 1{,}25\text{ Вт}\cdot 300\text{ с} = 375\text{ Дж}\), и аккумулятор нагреется на \[\Delta t = \frac{Q}{c\,m} = \frac{375\text{ Дж}}{200\ \frac{\text{Дж}}{\text{кг}\cdot\text{град}}\cdot 5\text{ кг}} = 0{,}375\text{ градуса} .\]

Подсказка

Разность давлений снизу и сверху под поршнем постоянна. Запишите уравнения состояния для обоих газов в двух положениях и изотерму для газа, температура которого не меняется.

Ответ

\(\dfrac{m_1}{m_2} = \dfrac{1}{3}\) (где \(m_1\) — масса газа, который в исходном положении находился сверху, \(m_2\) — масса газа снизу).

Решение

Пусть в первом положении сверху находится газ массой \(m_1\), а снизу газ массой \(m_2\). Обозначим \(\nu_1 = m_1/\mu\), \(\nu_2 = m_2/\mu\) (количества вещества). В исходном состоянии верхний газ занимает объём \(\tfrac{2}{3}V\), нижний — \(\tfrac{1}{3}V\), оба при температуре \(T\): \[P_1 = \frac{3\nu_1 RT}{2V}, \qquad P_2 = \frac{3\nu_2 RT}{V}.\] После переворачивания сверху оказывается газ \(m_2\), снизу газ \(m_1\) с температурой \(4T\). Верхний газ \(m_2\) по-прежнему занимает \(\tfrac{2}{3}V\) при температуре \(T\), так что по закону Бойля—Мариотта его давление стало \(P_1' = P_2/2\). Нижний газ \(m_1\) занимает \(\tfrac{1}{3}V\) при \(4T\): \[P_2' = \frac{12\nu_1 RT}{V}.\] Разность давлений снизу и сверху определяется давлением поршня и потому постоянна: \[P_2 - P_1 = P_2' - P_1' .\] Подставляя найденные выражения, получаем \(3\nu_2 - \tfrac{3}{2}\nu_1 = 12\nu_1 - \tfrac{3}{2}\nu_2\), откуда \(\nu_1/\nu_2 = 1/3\). Следовательно, \[\frac{m_1}{m_2} = \frac{1}{3} .\]

Подсказка

Поле сектора в вершине конуса направлено вдоль оси симметрии. Разбейте сектор на тонкие сферические слои радиусом \(x\) и просуммируйте их вклады.

Ответ

\(a_0 = \dfrac{\rho q r^2}{4\varepsilon_0\, m R}\).

Решение

Найдём напряжённость электрического поля в точке \(O\), которое создаёт равномерно заряженный сектор шара. Из симметрии относительно поворота вектор напряжённости в точке \(O\) направлен вдоль оси симметрии сектора. Вклад в это поле от сферического слоя радиусом \(x\) и толщиной \(\Delta x\) получается по закону Кулона и принципу суперпозиции: его элементы площади, видимые из \(O\) под углом \(\alpha\) к оси, дают \[E_x = \frac{\rho\,\Delta x}{4\varepsilon_0}\sin^2\alpha .\] Суммируя по всем слоям, получаем \[E = \frac{\rho\,\sin^2\alpha}{4\varepsilon_0}\,R = \frac{\rho\, r^2}{4\varepsilon_0 R},\] где учтено, что \(\sin\alpha = r/R\). Отсюда начальное ускорение дробинки \[a_0 = \frac{Eq}{m} = \frac{\rho\, q\, r^2}{4\varepsilon_0\, m R} .\]