Газы по обе стороны поршня

Разность давлений снизу и сверху под поршнем постоянна. Запишите уравнения состояния для обоих газов в двух положениях и изотерму для газа, температура которого не меняется.

Пусть в первом положении сверху находится газ массой \(m_1\), а снизу газ массой \(m_2\). Обозначим \(\nu_1 = m_1/\mu\), \(\nu_2 = m_2/\mu\) (количества вещества). В исходном состоянии верхний газ занимает объём \(\tfrac{2}{3}V\), нижний — \(\tfrac{1}{3}V\), оба при температуре \(T\): \[P_1 = \frac{3\nu_1 RT}{2V}, \qquad P_2 = \frac{3\nu_2 RT}{V}.\] После переворачивания сверху оказывается газ \(m_2\), снизу газ \(m_1\) с температурой \(4T\). Верхний газ \(m_2\) по-прежнему занимает \(\tfrac{2}{3}V\) при температуре \(T\), так что по закону Бойля—Мариотта его давление стало \(P_1' = P_2/2\). Нижний газ \(m_1\) занимает \(\tfrac{1}{3}V\) при \(4T\): \[P_2' = \frac{12\nu_1 RT}{V}.\] Разность давлений снизу и сверху определяется давлением поршня и потому постоянна: \[P_2 - P_1 = P_2' - P_1' .\] Подставляя найденные выражения, получаем \(3\nu_2 - \tfrac{3}{2}\nu_1 = 12\nu_1 - \tfrac{3}{2}\nu_2\), откуда \(\nu_1/\nu_2 = 1/3\). Следовательно, \[\frac{m_1}{m_2} = \frac{1}{3} .\]