Пушка из заряженного шарового сектора

Поле сектора в вершине конуса направлено вдоль оси симметрии. Разбейте сектор на тонкие сферические слои радиусом \(x\) и просуммируйте их вклады.

Найдём напряжённость электрического поля в точке \(O\), которое создаёт равномерно заряженный сектор шара. Из симметрии относительно поворота вектор напряжённости в точке \(O\) направлен вдоль оси симметрии сектора. Вклад в это поле от сферического слоя радиусом \(x\) и толщиной \(\Delta x\) получается по закону Кулона и принципу суперпозиции: его элементы площади, видимые из \(O\) под углом \(\alpha\) к оси, дают \[E_x = \frac{\rho\,\Delta x}{4\varepsilon_0}\sin^2\alpha .\] Суммируя по всем слоям, получаем \[E = \frac{\rho\,\sin^2\alpha}{4\varepsilon_0}\,R = \frac{\rho\, r^2}{4\varepsilon_0 R},\] где учтено, что \(\sin\alpha = r/R\). Отсюда начальное ускорение дробинки \[a_0 = \frac{Eq}{m} = \frac{\rho\, q\, r^2}{4\varepsilon_0\, m R} .\]