Баржа на мосту

Баржа плавает. Чему равен вес воды, которую она вытесняет, и куда эта вода девается? От чего зависит давление воды на дно?

Не изменяется: сила давления на мост равна весу воды, налитой до прежнего уровня, \(\rho g h S\), и не зависит от груза баржи.

Что происходит. Давление на мост создаёт вода канала, лежащая на дне. Баржа плавает и дна не касается, поэтому на дно давит только вода. А давление воды на дно определяется глубиной. Канал с обеих сторон моста продолжается дальше, и воду, которую вытесняет баржа, он отводит по руслу: уровень воды в пролёте моста остаётся прежним.

Обозначения. \(h\) — глубина воды в канале на мосту, \(S\) — площадь дна канала над мостом, \(\rho\) — плотность воды, \(M\) — масса баржи с грузом, \(V\) — объём вытесненной ею воды. Баржа движется медленно, волнами и течениями пренебрегаем: вода покоится. Баржа осадкой меньше \(h\) и дна не касается.

1. Плавание баржи. Баржа покоится относительно воды по вертикали, значит, сила тяжести уравновешена силой Архимеда: \[Mg=\rho g V .\] Нагруженная баржа тяжелее, поэтому погружается глубже и вытесняет больше воды, но уровень воды на мосту при этом не меняется.

2. Давление на дно. Давление воды на глубине \(h\) равно \(\rho g h\) (атмосферное давление действует и на воду сверху, и на низ моста, его вычитаем). Оно одинаково по всему дну и для пустой, и для нагруженной баржи, потому что \(h\) одна и та же. Сила давления на дно, то есть на мост: \[F=\rho g h\,S .\]

3. Второй способ: сумма весов. Вес воды и баржи над пролётом моста складывается из веса воды и веса баржи. Если бы баржи не было, в пролёте было бы \(V_0=hS\) воды. Баржа вытесняет объём \(V\), поэтому воды остаётся \(V_0-V\): \[\rho g\,(V_0-V)+Mg=\rho g V_0-\rho g V+\rho g V=\rho g h\,S .\] Вес баржи в точности восполняет вес вытесненной воды.

Обратите внимание: «нагруженная баржа тяжелее, значит, давит сильнее» — неверно. Вес баржи не передаётся на дно напрямую: баржа плавает, и вытесненная ею вода такого же веса уходит из пролёта по каналу.

Ответ: давление на мост не изменяется; в обоих случаях сила давления равна \(\rho g h S\).

Проверка. Размерность: \(\rho g h\) — давление (\(\text{кг/м}^3\cdot\text{м/с}^2\cdot\text{м}=\text{Па}\)). Предел: баржа без груза и веса вытесняет нулевой объём — вода просто налита до уровня \(h\). Ещё предел: если груз так тяжёл, что баржа села на дно (осадка равна \(h\)), то условие «плавает» нарушено: часть веса передаётся мосту через дно, и давление на него возрастёт. Замена баржи водой: если вместо баржи взять тот же вытесненный объём воды (рисунок), он останется в покое — вода сама себя держит, — и уровень, и сила на дно те же.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.