Холодильник в холодной комнате

Куда девается тепло, которое холодильник забирает из камеры? Составьте уравнение теплового баланса всей комнаты: что входит в неё и что уходит на улицу.

Во всех трёх случаях температура в помещении растёт: холодильник комнату не охлаждает, а нагревает. а) Температура монотонно растёт к значению \(T_1\), лишь немного выше уличной. б) Сначала температура растёт быстрее, чем в а) и в), достигает максимума, когда продукты остыли, затем убывает до того же \(T_1\). в) Температура монотонно растёт к наибольшему значению \(T_2=T_0+A/k\), где \(A\) — мощность тока, \(k\) — коэффициент теплоотдачи стен. График: рисунок в решении.

Что происходит. Холодильник — тепловой насос: у камеры он забирает тепло \(Q_x\) и отдаёт в комнату тепло \(Q_x+A\), где \(A\) — работа электрического тока (все величины — за единицу времени). Но камера не изолирована: забранное у неё тепло возвращается в комнату, через стенки камеры или из остывающих продуктов. Поэтому в целом холодильник работает как электроплитка: ничего не «уничтожает», а добавляет в комнату энергию тока. Из комнаты тепло уходит только сквозь стены на улицу, и температура растёт, пока уход не сравняется с приходом.

Обозначения. \(T\) — температура в комнате, \(T_0\) — на улице (постоянна), \(t=0\) — момент включения, \(T(0)=T_0\). \(C\) — теплоёмкость комнаты (воздух, стены, мебель), \(k\) — коэффициент теплоотдачи сквозь стены: поток тепла на улицу \(k\,(T-T_0)\) (закон охлаждения Ньютона, температуры отличаются мало). \(Q_{\text{ут}}\) — поток тепла из комнаты в камеру сквозь её стенки (утечка). \(P=Q_x+A-Q_{\text{ут}}\) — мощность, с которой холодильник подводит тепло к комнате.

1. Тепловой баланс комнаты. За малое время \(dt\) энергия комнаты (воздуха и стен вместе) возрастает на приход от холодильника и убывает на уход на улицу: \[C\,dT=P\,dt-k\,(T-T_0)\,dt .\] Если мощность \(P\) постоянна, то решение \(T-T_0=\dfrac Pk\left(1-e^{-t/\tau}\right)\), где \(\tau=C/k\): температура экспоненциально приближается к \(T_0+P/k\). Остаётся выяснить, чему равна \(P\) в каждом случае.

Случай а): холодильник пустой. Воздух и стенки камеры имеют малую теплоёмкость и остывают быстро, поэтому термостат скоро выключает компрессор. Дальше компрессор лишь изредка включается: всё тепло, пришедшее сквозь стенки, он снова забирает, так что в среднем \(Q_x=Q_{\text{ут}}\) и \(P=A_{\text{ср}}\) — только средняя мощность тока, малая. Температура в комнате растёт по экспоненте к \(T_1=T_0+A_{\text{ср}}/k\), лишь немного выше \(T_0\).

Случай б): холодильник с продуктами. Продукты тёплые. Чтобы остудить их, компрессор работает без выключения и забирает тепло \(Q_x\gg Q_{\text{ут}}\), а это тепло, отнятое у продуктов, он отдаёт в комнату. Значит, \(P\approx Q_x+A\) — намного больше, чем в случае а): комната греется быстрее. Когда продукты остыли (момент \(t_1\)), термостат начинает выключать компрессор, и становится как в а): \(P=A_{\text{ср}}\). Температура в этот момент максимальна: пока \(P>k\,(T-T_0)\), она растёт, после — убывает, приближаясь к \(T_1\): \[T-T_1=(T_{\max}-T_1)\,e^{-(t-t_1)/\tau}.\] Продукты после остывания тепла в комнату уже не добавляют.

Случай в): дверца открыта. Холодный воздух из камеры выходит и смешивается с комнатным, камера не остывает, термостат не срабатывает, и компрессор работает всё время. Тепло, забранное у воздуха камеры, возвращается в комнату тем же воздухом, поэтому в комнате остаётся лишь работа тока: \(P=A\), полная мощность. Температура монотонно растёт по экспоненте к \(T_2=T_0+A/k\). Так как \(A>A_{\text{ср}}\), итог выше, чем в случаях а) и б): \(T_2>T_1\).

Сводка. Все три кривые выходят из одной точки \(T_0\) и поднимаются вверх; ниже всех идёт а), выше всех в конце — в). Кривая б) в начале круче остальных, имеет максимум и опускается к уровню \(T_1\) кривой а), пересекая в) на спуске, если продуктов много (пик выше \(T_2\), как на рисунке); при малой загрузке пик ниже \(T_2\) и пересечения нет.

Обратите внимание: холодильник не охлаждает комнату, хотя внутри холодно. Тепло из камеры не исчезает, оно перекачивается в ту же комнату, и к нему прибавляется работа тока. Поэтому ни в одном случае температура в помещении не опускается ниже уличной.

Ответ: в случаях а), б), в) температура в помещении растёт; а) монотонно до \(T_1=T_0+A_{\text{ср}}/k\); б) быстро растёт до максимума, затем убывает до того же \(T_1\); в) монотонно до наибольшего значения \(T_2=T_0+A/k\) (рисунок выше).

Проверка. При \(t\to\infty\) в случаях а) и в) приход энергии равен уходу сквозь стены: \(P=k\,(T-T_0)\), вся электрическая энергия, взятая холодильником из сети, в итоге оказывается на улице — энергия сохраняется. Предел: если стены хорошо проводят тепло (\(k\to\infty\)), то \(T-T_0=P/k\to0\) и комната не греется. Для случая б): добавка \(\int\left(P-A_{\text{ср}}\right)dt\) к энергии комнаты за время \(t_1\) складывается из тепла, отданного остывающими продуктами, и из работы тока, потраченной на непрерывную работу компрессора; чем больше продуктов, тем дольше работает компрессор и выше пик.

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.