Три шарика на стержнях в сфере

На каждый шарик действуют сила тяжести, сила реакции поверхности сферы (\(N_1\), \(N_2\) и \(N_3\)), сила (силы) реакции со стороны стержней (\(T_1\), \(T_1'\), \(T_2\) и \(T_2'\)). А поскольку вектор ускорения каждого шарика в первый момент после начала движения направлен вдоль поверхности полусферы, второй закон Ньютона в проекциях на ось, направленную вдоль поверхности, дает \[\begin{aligned} m a_1 &= T_1\cos\alpha, \\ m a_2 &= mg\cos 45^\circ + T_2\cos\alpha - T_1'\cos\alpha, \\ m a_3 &= mg - T_2'\cos\alpha, \end{aligned}\] где \(\alpha\) — угол между силами реакции стержней и направлением вдоль поверхности (очевидно, все эти углы одинаковы; чтобы не загромождать рисунок, мы показали на нем только один из таких углов). Поскольку стержни невесомы и нерастяжимы, то \(T_1 = T_1'\), \(T_2 = T_2'\), и ускорения шариков одинаковы. Поэтому при сложении уравнений все силы реакции стержней сократятся, и мы сможем найти ускорение шариков. В результате получим \[a = \frac{2+\sqrt{2}}{6}\,g.\]