Резиновый жгут и вода

Поскольку жгут деформирован и его жесткость при охлаждении возрастает, то возрастает сила упругости, которая при некотором количестве воды в стакане оторвет тело от дна. Рассмотрим ситуацию, когда сила упругости практически достигла силы тяжести груза. Пусть для этого нам пришлось налить в стакан слой воды высотой \(h\), длина участка жгута над поверхностью равна \(l - h\). Найдем длины участков жгута, находящихся под и над поверхностью, в недеформированном состоянии.

Длина всего жгута в недеформированном состоянии \(l_0 = l - \Delta l = 80\) см. Пусть недеформированная длина участка жгута, находящегося над поверхностью, равна \(l_1\). Тогда (поскольку коэффициент жесткости обратно пропорционален длине) его коэффициент жесткости \(k_1 = k\,l_0/l_1\). А поскольку сила упругости жгута равна силе тяжести груза \(mg\), находим \[l - h = l_1 + \frac{mg}{k_1} = l_1\left(1 + \frac{mg}{k\,l_0}\right) \quad\Rightarrow\quad l_1 = \frac{l-h}{1 + \dfrac{mg}{k\,l_0}}.\] Аналогично найдем длину участка жгута, находящегося под поверхностью, в недеформированном состоянии. Пусть эта длина равна \(l_2\). Тогда, проводя аналогичные рассуждения и учитывая, что коэффициент жесткости холодного целого жгута равен \(4k\), получаем \[h = l_2 + \frac{mg}{k_2} = l_2\left(1 + \frac{mg}{4\,k\,l_0}\right) \quad\Rightarrow\quad l_2 = \frac{h}{1 + \dfrac{mg}{4\,k\,l_0}}.\] А поскольку недеформированная длина всего нашего жгута равна \(l_0\), из этих формул получаем уравнение для нахождения величины \(h\): \[l_1 + l_2 = l_0 \quad\Rightarrow\quad \frac{l-h}{1 + \dfrac{mg}{k\,l_0}} + \frac{h}{1 + \dfrac{mg}{4\,k\,l_0}} = l_0.\] Отсюда получаем окончательно для высоты уровня воды в стакане, при котором груз оторвется от дна (при \(g = 10\) м/с\(^2\)): \[h = \frac{4\,k\,l_0}{3\,mg}\left(1 + \frac{mg}{4\,k\,l_0}\right)\left(\frac{mg}{k} - \Delta l\right) = 60 \text{ см}.\]