Неоднородный брусок

Пусть средняя плотность бруска \(\rho\), плотность воды — \(\rho_0\). Тогда условие плавания целого бруска дает \[\rho g V = \frac{2}{3}\,\rho_0 g V \quad\Rightarrow\quad \rho = \frac{2}{3}\,\rho_0.\] Условие плавания одной половинки бруска со средней плотностью \(\rho_1\): \[\rho_1 g\frac{V}{2} = \frac{1}{2}\,\rho_0 g\frac{V}{2} \quad\Rightarrow\quad \rho_1 = \frac{1}{2}\,\rho_0.\] С другой стороны, средняя плотность бруска так связана со средними плотностями его половинок \(\rho_1\) и \(\rho_2\): \[\rho = \frac{\rho_1\frac{V}{2} + \rho_2\frac{V}{2}}{V} = \frac{\rho_1+\rho_2}{2}.\] Отсюда находим среднюю плотность второй половинки \[\rho_2 = 2\rho - \rho_1 = \frac{4}{3}\rho_0 - \frac{1}{2}\rho_0 = \frac{5}{6}\,\rho_0.\] Таким образом, средняя плотность второй половинки бруска меньше плотности воды, и, следовательно, вторая половинка бруска тоже будет плавать.

Чтобы полностью утопить ее в воде, к ней нужно приложить силу, равную разности силы Архимеда и силы тяжести: \[F = \rho_0 g\frac{V}{2} - \rho_2 g\frac{V}{2} = \frac{1}{12}\rho_0 gV = \frac{1}{12}\cdot\frac{3}{2}\rho gV = \frac{1}{8}\,mg.\] Таким образом, чтобы утопить брусок в жидкости, к нему нужно приложить минимальную силу \(F = mg/8\), направленную вертикально вниз.