Росатом, 2018/19, заключительный этап, 10 класс

Подсказка

Сравните токи через оба вольтметра и центральный резистор. Какие напряжения приложены к крайним резисторам?

Ответ

\(U = \dfrac{7}{3}\,U_1 = 28\) В.

Решение

Пусть сопротивление резистора \(r\). Найдем сопротивление вольтметра. Ток, текущий через вольтметр \(V_1\), делится на две части — ток, текущий через вольтметр \(V_2\), и ток, текущий через центральный резистор. А так как вольтметры имеют одинаковое сопротивление, из закона Ома заключаем, что напряжение на вольтметре \(V_2\) меньше напряжения на вольтметре \(V_1\). А поскольку по условию \(V_1 = 3V_2\), то через вольтметр \(V_2\) течет треть тока, текущего через вольтметр \(V_1\). А, значит, оставшиеся две трети тока текут через центральный резистор. Поэтому токи, текущие через вольтметр \(V_2\) и центральный резистор, отличаются вдвое, и, следовательно, сопротивление вольтметра \(R\) вдвое больше сопротивления резистора: \[R = 2r.\] А поскольку через правый и левый резисторы течет тот же ток, что и через вольтметр \(V_1\), напряжение на них вдвое меньше, чем на вольтметре \(V_1\). Поэтому, если вольтметр \(V_1\) показывает напряжение \(U_1\), то напряжение на всей цепи определяется соотношением \[U = \frac{1}{2}U_1 + U_1 + \frac{1}{3}U_1 + \frac{1}{2}U_1 = \frac{7}{3}\,U_1 = 28 \text{ В}.\]

Ответ

\(a = \dfrac{2+\sqrt{2}}{6}\,g\) (одинаково для всех трех шариков).

Решение

На каждый шарик действуют сила тяжести, сила реакции поверхности сферы (\(N_1\), \(N_2\) и \(N_3\)), сила (силы) реакции со стороны стержней (\(T_1\), \(T_1'\), \(T_2\) и \(T_2'\)). А поскольку вектор ускорения каждого шарика в первый момент после начала движения направлен вдоль поверхности полусферы, второй закон Ньютона в проекциях на ось, направленную вдоль поверхности, дает \[\begin{aligned} m a_1 &= T_1\cos\alpha, \\ m a_2 &= mg\cos 45^\circ + T_2\cos\alpha - T_1'\cos\alpha, \\ m a_3 &= mg - T_2'\cos\alpha, \end{aligned}\] где \(\alpha\) — угол между силами реакции стержней и направлением вдоль поверхности (очевидно, все эти углы одинаковы; чтобы не загромождать рисунок, мы показали на нем только один из таких углов). Поскольку стержни невесомы и нерастяжимы, то \(T_1 = T_1'\), \(T_2 = T_2'\), и ускорения шариков одинаковы. Поэтому при сложении уравнений все силы реакции стержней сократятся, и мы сможем найти ускорение шариков. В результате получим \[a = \frac{2+\sqrt{2}}{6}\,g.\]

Ответ

Нижняя половина будет плавать; чтобы ее утопить, нужна минимальная сила \(F = \dfrac{mg}{8}\), направленная вертикально вниз.

Решение

Пусть средняя плотность бруска \(\rho\), плотность воды — \(\rho_0\). Тогда условие плавания целого бруска дает \[\rho g V = \frac{2}{3}\,\rho_0 g V \quad\Rightarrow\quad \rho = \frac{2}{3}\,\rho_0.\] Условие плавания одной половинки бруска со средней плотностью \(\rho_1\): \[\rho_1 g\frac{V}{2} = \frac{1}{2}\,\rho_0 g\frac{V}{2} \quad\Rightarrow\quad \rho_1 = \frac{1}{2}\,\rho_0.\] С другой стороны, средняя плотность бруска так связана со средними плотностями его половинок \(\rho_1\) и \(\rho_2\): \[\rho = \frac{\rho_1\frac{V}{2} + \rho_2\frac{V}{2}}{V} = \frac{\rho_1+\rho_2}{2}.\] Отсюда находим среднюю плотность второй половинки \[\rho_2 = 2\rho - \rho_1 = \frac{4}{3}\rho_0 - \frac{1}{2}\rho_0 = \frac{5}{6}\,\rho_0.\] Таким образом, средняя плотность второй половинки бруска меньше плотности воды, и, следовательно, вторая половинка бруска тоже будет плавать.

Чтобы полностью утопить ее в воде, к ней нужно приложить силу, равную разности силы Архимеда и силы тяжести: \[F = \rho_0 g\frac{V}{2} - \rho_2 g\frac{V}{2} = \frac{1}{12}\rho_0 gV = \frac{1}{12}\cdot\frac{3}{2}\rho gV = \frac{1}{8}\,mg.\] Таким образом, чтобы утопить брусок в жидкости, к нему нужно приложить минимальную силу \(F = mg/8\), направленную вертикально вниз.

Ответ

\(N = \dfrac{2}{13}\,Q\nu\).

Решение

Поскольку в процессах 1-2 и 3-4 не меняется плотность, эти процессы — изохорические. В процессах 2-3 и 4-1 \(T\propto 1/\rho \propto V\), и, следовательно, эти процессы изобарические. Поэтому в координатах \(p\)–\(V\) график процесса является прямоугольником, причем точки 2 и 4 лежат на одной гиперболе (изотерме).

Температура газа в состоянии 3 равна \(4T\). Действительно, из закона Клапейрона–Менделеева имеем для процессов 1-2 и 2-3 \[\frac{p_2V_2}{T_3} = \frac{p_2V_1}{2T}, \qquad \frac{p_2V_1}{2T} = \frac{p_1V_1}{T}.\] Перемножая эти равенства и учитывая, что \(p_2V_1 = p_1V_2\) (состояния 2 и 4 принадлежат одной изотерме), получим \(T_3 = 4T\).

КПД цикла по определению \[\eta = \frac{A}{Q},\] где \(A\) — работа газа за цикл, \(Q\) — количество теплоты, полученное газом от нагревателя в течение цикла. Работа газа равна площади цикла в координатах \(p\)–\(V\): \[A = (p_2 - p_1)(V_2 - V_1).\] Поскольку процесс 1-2 — изохорический, то \(p_2 = 2p_1\); поскольку процесс 4-1 — изобарический, то \(V_2 = 2V_1\). Отсюда находим \(A = p_1V_1\).

Газ получает тепло на участках 1-2-3 и отдает на участках 3-4-1, поэтому \(Q = Q_{1-2-3}\). Применяя к процессу 1-2-3 первое начало термодинамики, получим \[Q_{1-2-3} = \Delta U_{1-2-3} + A_{1-2-3}.\] Изменение внутренней энергии \[\Delta U_{1-2-3} = \frac{3}{2}\,\nu R\,\Delta T_{3-1} = \frac{3}{2}\left(p_2V_2 - p_1V_1\right) = \frac{9}{2}\,p_1V_1,\] работа на участке 1-2-3 — как площадь под графиком процесса в координатах \(p\)–\(V\): \[A_{1-2-3} = p_2\left(V_2 - V_1\right) = 2p_1V_1.\] Отсюда находим количество теплоты, полученное двигателем от нагревателя, \[Q = \frac{13}{2}\,p_1V_1,\] а затем и КПД процесса \[\eta = \frac{2}{13}.\] Таким образом, работа газа за цикл составляет \(A = \dfrac{2}{13}\,Q\), и в единицу времени совершается \(\nu\) циклов. Поэтому работа двигателя в единицу времени (т.е. мощность) равна \[N = \frac{2}{13}\,Q\nu.\]

Ответ

\(h = 60\) см.

Решение

Поскольку жгут деформирован и его жесткость при охлаждении возрастает, то возрастает сила упругости, которая при некотором количестве воды в стакане оторвет тело от дна. Рассмотрим ситуацию, когда сила упругости практически достигла силы тяжести груза. Пусть для этого нам пришлось налить в стакан слой воды высотой \(h\), длина участка жгута над поверхностью равна \(l - h\). Найдем длины участков жгута, находящихся под и над поверхностью, в недеформированном состоянии.

Длина всего жгута в недеформированном состоянии \(l_0 = l - \Delta l = 80\) см. Пусть недеформированная длина участка жгута, находящегося над поверхностью, равна \(l_1\). Тогда (поскольку коэффициент жесткости обратно пропорционален длине) его коэффициент жесткости \(k_1 = k\,l_0/l_1\). А поскольку сила упругости жгута равна силе тяжести груза \(mg\), находим \[l - h = l_1 + \frac{mg}{k_1} = l_1\left(1 + \frac{mg}{k\,l_0}\right) \quad\Rightarrow\quad l_1 = \frac{l-h}{1 + \dfrac{mg}{k\,l_0}}.\] Аналогично найдем длину участка жгута, находящегося под поверхностью, в недеформированном состоянии. Пусть эта длина равна \(l_2\). Тогда, проводя аналогичные рассуждения и учитывая, что коэффициент жесткости холодного целого жгута равен \(4k\), получаем \[h = l_2 + \frac{mg}{k_2} = l_2\left(1 + \frac{mg}{4\,k\,l_0}\right) \quad\Rightarrow\quad l_2 = \frac{h}{1 + \dfrac{mg}{4\,k\,l_0}}.\] А поскольку недеформированная длина всего нашего жгута равна \(l_0\), из этих формул получаем уравнение для нахождения величины \(h\): \[l_1 + l_2 = l_0 \quad\Rightarrow\quad \frac{l-h}{1 + \dfrac{mg}{k\,l_0}} + \frac{h}{1 + \dfrac{mg}{4\,k\,l_0}} = l_0.\] Отсюда получаем окончательно для высоты уровня воды в стакане, при котором груз оторвется от дна (при \(g = 10\) м/с\(^2\)): \[h = \frac{4\,k\,l_0}{3\,mg}\left(1 + \frac{mg}{4\,k\,l_0}\right)\left(\frac{mg}{k} - \Delta l\right) = 60 \text{ см}.\]