Плоско-выпуклая линза

Пусть материал линзы имеет показатель преломления \(n\), а скорость света в вакууме равна \(c\). Тогда скорость света, распространяющегося внутри линзы, равна \(c/n\). Так как линза осесимметрична, а фронт прошедшей через неё волны становится плоским, то времена распространения света от источника по путям \(ABC\) и \(ADE\) (см. рис. 1) должны быть одинаковыми: \[\dfrac{R\sqrt{2}}{c} + \dfrac{R}{c} = \dfrac{R}{c} + \dfrac{R}{c/n}.\] Отсюда получаем, что показатель преломления материала линзы \(n = \sqrt{2}\).

Рассмотрим далее преломление луча света вблизи пересечения поверхностей, ограничивающих линзу (см. рис. 2). Угол падения луча на плоскую поверхность равен \(\varphi = \pi/4\). Из закона преломления света находим: \[n\sin(\angle MLN) = \sin\varphi,\] откуда \(\sin(\angle MLN) = \dfrac{\sin\varphi}{n} = \dfrac{1}{2}\), то есть \(\angle MLN = \dfrac{\pi}{6}\). Далее, из треугольника \(MLO\) получаем: \[\alpha + \dfrac{\pi}{2} - \angle LMN + \dfrac{\pi}{2} - \angle MLN = \pi,\] откуда, с учётом предыдущего соотношения, \(\angle LMN = \alpha - \dfrac{\pi}{6}\).

Рассматривая преломление луча на выпуклой поверхности, получаем: \[n\sin(\angle LMN) = \sin\alpha,\quad\text{или}\quad \sqrt{2}\sin\left(\alpha - \dfrac{\pi}{6}\right) = \sin\alpha.\] Отсюда имеем: \[\sqrt{2}\left(\dfrac{\sqrt{3}}{2}\sin\alpha - \dfrac{1}{2}\cos\alpha\right) = \sin\alpha,\qquad\text{и}\qquad \operatorname{tg}\alpha = \dfrac{1}{\sqrt{3} - \sqrt{2}} = \sqrt{2} + \sqrt{3}.\] Окончательно, \[\alpha = \operatorname{arctg}\left(\sqrt{2} + \sqrt{3}\right) \approx \operatorname{arctg}(1{,}73 + 1{,}41) = \operatorname{arctg}3{,}14 \approx 72^\circ.\]