Два груза на нитях и стержень

При малых колебаниях можно в первом приближении считать, что грузы смещаются в горизонтальном направлении на одинаковую величину \(x \ll L_{1,2}\), так как соединяющий их стержень жёсткий (см. рисунок).

Высота поднятия каждого из грузов \(y_{1,2}\) равна \[y_{1,2} = L_{1,2} - L_{1,2}\sqrt{1 - \dfrac{x^2}{L_{1,2}^2}} \approx \dfrac{x^2}{2L_{1,2}}.\] Поэтому приращение потенциальной энергии системы грузов, выведенной из положения равновесия, равно \[U = mg(y_1 + y_2) = \dfrac{mg}{2}\left(\dfrac{1}{L_1} + \dfrac{1}{L_2}\right)x^2.\] Скорости грузов в первом приближении одинаковы: \[v_{1,2} = \sqrt{\left(\dfrac{dx}{dt}\right)^2 + \left(\dfrac{dy_{1,2}}{dt}\right)^2} = \dfrac{dx}{dt}\sqrt{1 + \left(\dfrac{dy_{1,2}}{dx}\right)^2} \approx\] \[\approx \dfrac{dx}{dt}\sqrt{1 + \dfrac{x^2}{L_{1,2}^2}} \approx \dfrac{dx}{dt} = v.\] Поэтому кинетическая энергия системы: \(W = mv^2/2 + mv^2/2 = mv^2\).

Известно, что если кинетическая энергия системы с одной степенью свободы может быть записана в виде \(W = \alpha v^2/2\), а потенциальная энергия — в виде \(U = \beta x^2/2\), где \(x\) — некоторая координата, характеризующая положение системы, а \(v = dx/dt\) — соответствующая ей скорость, то система может совершать гармонические колебания, период которых определяется формулой \(T = 2\pi\sqrt{\alpha/\beta}\). Поэтому в нашем случае период малых колебаний равен \[T = 2\pi\sqrt{\dfrac{2m}{mg\left(\dfrac{1}{L_1} + \dfrac{1}{L_2}\right)}} = 2\pi\sqrt{\dfrac{2L_1L_2}{g(L_1 + L_2)}}.\]