Дальний выстрел

Скорость снаряда \(v = 10\) км/с больше первой космической скорости (\(v_{1\text{к}} \approx 8\) км/с) и лишь немного меньше второй (\(v_{2\text{к}} \approx 11{,}2\) км/с). Поэтому снаряд будет двигаться по сильно вытянутому эллипсу, большая полуось которого значительно больше радиуса Земли \(R \approx 6400\) км, и ударится о Землю позади орудия. Иначе говоря, обычную формулу баллистики применять нельзя. Рассчитать такой эллипс — сложная задача, но в данном случае это делать и не нужно.

Мысленно сосредоточим всю массу Земли в её центре и рассмотрим траекторию снаряда. Из симметрии расположения эллипса относительно Земли следует, что угол падения снаряда на Землю равен углу возвышения орудия \(\alpha = 3^\circ\). Ясно, что если бы Земля не мешала, то снаряд пролетел бы по участку траектории, проходящему «внутри Земли» (см. рисунок).

Поскольку начальная скорость снаряда очень велика, а угол возвышения орудия мал, то этот участок эллипса внутри Земли близок к прямой линии, а градусная мера \(\varphi\) дуги, лежащей между точками нахождения орудия и падения снаряда, мала.

Поэтому в первом приближении можно считать, что «внутри Земли» снаряд летит по прямой с постоянной скоростью \(v\), а \(\varphi \approx 2\alpha\). Таким образом, искомое расстояние \(L = R\varphi \approx 2R\alpha\), и поскольку \(2\alpha = 6^\circ \approx 0{,}1\) рад, то \[L \approx 0{,}1\text{ рад}\cdot 6400\text{ км} \approx 640\text{ км}.\] Можно пытаться оценить величину \(L\) другим, более точным способом, учитывая силу притяжения снаряда к центру Земли. После падения снаряд будет двигаться по участку траектории «внутри Земли» и пролетит его с почти постоянной по величине скоростью за время \(\Delta t \approx L/v\). За это время вектор скорости повернётся на угол \(\Delta\varphi = \varphi - 2\alpha\), причём этот поворот возникает из-за действия силы притяжения Земли на снаряд во время его «полёта внутри Земли». Поскольку сила притяжения почти перпендикулярна скорости, то приращение скорости снаряда \(\Delta v \approx v\Delta\varphi \approx g\Delta t \approx gL/v\). Таким образом, \[\Delta\varphi \approx \dfrac{gL}{v^2} \approx \dfrac{L}{R} - 2\alpha,\] откуда \[L \approx \dfrac{2\alpha R}{1 - \dfrac{gR}{v^2}} \approx \dfrac{0{,}1\text{ рад}\cdot 6400\cdot 10^3\text{ м}}{1 - \dfrac{10\text{ м/с}^2\cdot 6400\cdot 10^3\text{ м}}{(10^4\text{ м/с})^2}} \approx 1780\text{ км}.\qquad(1)\] Эту формулу можно также получить, используя метод последовательных приближений, на рассмотрении которого мы не будем подробно останавливаться.

Отметим, что вычисление по формуле (1) даёт результат, который очень близок к точному значению \(L \approx 1859\) км (результат численного расчёта для полёта снаряда по эллиптической траектории при \(g = 10\) м/с\(^2\), \(R = 6400\) км). Более того, если подставить в формулу (1) более точное значение величины \(2\alpha = 6^\circ \approx 0{,}1047\) рад и выполнить подсчёт при помощи микрокалькулятора, то совпадение станет ещё лучше — оценка для расстояния будет равна \(L \approx 1861\) км, что отличается от точного значения только на \(0{,}1\%\)!

Формулу (1) можно получить и другим способом. Небольшой участок траектории, проходящий «внутри Земли», на всём своём протяжении имеет приблизительно одинаковый радиус кривизны \(R_{\text{кр}}\). Его можно найти из условия примерного равенства вблизи поверхности Земли центростремительного ускорения снаряда \(v^2/R_{\text{кр}}\) и ускорения свободного падения \(g\), откуда \[R_{\text{кр}} \approx \dfrac{v^2}{g} = \dfrac{(10000\text{ м/с})^2}{10\text{ м/с}^2} = 10^7\text{ м} = 10000\text{ км}.\] Если из центра кривизны \(C\) данного участка траектории провести два радиуса кривизны — в точку падения \(A\) и в точку вылета \(B\) снаряда, то вектора скорости снаряда \(\vec v_1\) и \(\vec v_2\) в этих точках будут перпендикулярны проведённым радиусам (см. рисунок). Углы между этими радиусами \(CA\) и \(CB\) и радиусами Земли \(OA\) и \(OB\), проведёнными из центра Земли \(O\) в те же точки, будут равны \(\alpha\), поскольку первые перпендикулярны векторам скорости, а вторые — касательным к поверхности Земли. Поскольку угол \(ACB\) равен углу поворота вектора скорости \(\Delta\varphi\), а угол \(\varphi/2\) является внешним углом для треугольника \(AOC\), то \(\dfrac{\varphi}{2} = \alpha + \dfrac{\Delta\varphi}{2}\). Замечая, что \(R\varphi \approx R_{\text{кр}}\Delta\varphi \approx \dfrac{v^2}{g}\Delta\varphi\), получаем \(\varphi = 2\alpha + \dfrac{gR}{v^2}\varphi\), откуда \(\varphi = \dfrac{2\alpha}{1 - (gR/v^2)}\), и для \(L = R\varphi\) получаем прежнюю формулу (1).