Динамика электронов между цилиндрами

Магнитная сила работы не совершает, поэтому скорость задаётся только разностью потенциалов. Момент силы Лоренца относительно оси выражается через \(dr/dt\) — отсюда сохраняющаяся комбинация \(L\) и \(r^2\). Критический случай — траектория касается анода.

a) Выигрыш в потенциальной энергии \(eV\) переходит в кинетическую энергию. Таким образом, \[\tfrac12 mv^2 = eV \quad\text{(нерелятивистски)},\] \[\frac{mc^2}{\sqrt{1 - v^2/c^2}} - mc^2 = eV \quad\text{(релятивистски)}.\] Отсюда \[v = \begin{cases} \sqrt{2eV/m} & \text{(нерелятивистски)},\\[4pt] c\sqrt{1 - \left(\dfrac{mc^2}{mc^2 + eV}\right)^2} & \text{(релятивистски)}. \end{cases} \qquad (1)\]

b) При \(V = 0\) электрон движется в однородном статическом магнитном поле. Магнитная сила Лоренца перпендикулярна скорости, и электрон движется по окружности. Начальная скорость направлена по касательной к окружности.

Радиус \(R\) орбиты («циклотронный радиус») определяется приравниванием центростремительной силы и силы Лоренца: \[eBv_0 = \frac{mv_0^2}{R} ,\] т. е. \[B = \frac{mv_0}{eR} . \qquad (2)\]

Из рисунка видно, что в критическом случае радиус \(R\) окружности удовлетворяет условию \[\sqrt{a^2 + R^2} = b - R .\] Возводя в квадрат, получаем \[a^2 + R^2 = b^2 - 2bR + R^2 ,\] т. е. \[R = (b^2 - a^2)/2b .\] Подставляя это значение радиуса в выражение (2), получаем критическое поле \[B_c = \frac{mv_0}{eR} = \frac{2bmv_0}{(b^2 - a^2)e} .\]

c) Изменение момента импульса со временем создаётся моментом силы. Здесь азимутальная составляющая \(F_\varphi\) силы Лоренца \(\vec F = (-e)\,\vec v \times \vec B\) создаёт момент \(F_\varphi r\). Азимутальную силу Лоренца создаёт только радиальная составляющая скорости \(v_r = dr/dt\). Следовательно, \[\frac{dL}{dt} = eBr\frac{dr}{dt} ,\] что можно переписать в виде \[\frac{d}{dt}\left(L - \frac{eBr^2}{2}\right) = 0 .\] Значит, \[C = L - \tfrac12 eBr^2 \qquad (3)\] постоянна во время движения. Безразмерное число \(k\) из условия задачи, таким образом, равно \(k = 1/2\).

d) Вычислим постоянную \(C\), уравнение (3), на поверхности внутреннего цилиндра и на максимальном расстоянии \(r_m\): \[0 - \tfrac12 eBa^2 = mvr_m - \tfrac12 eBr_m^2 ,\] откуда \[v = \frac{eB(r_m^2 - a^2)}{2mr_m} . \qquad (4)\]

Другое решение. Можно сначала найти электрический потенциал \(V(r)\) как функцию расстояния от оси. В цилиндрической геометрии поле убывает обратно пропорционально \(r\), что требует логарифмического потенциала \(V(r) = c_1\ln r + c_2\). Определяя две постоянные из условий \(V(a) = 0\) и \(V(b) = V\), получаем \[V(r) = V\frac{\ln(r/a)}{\ln(b/a)} .\] Выигрыш в потенциальной энергии \(eV(r_m)\) переходит в кинетическую энергию: \[\frac12 mv^2 = eV\frac{\ln(r_m/a)}{\ln(b/a)} .\] Таким образом, \[v = \sqrt{\frac{2eV}{m}\,\frac{\ln(r_m/a)}{\ln(b/a)}} . \qquad (5)\] (4) и (5) кажутся разными ответами. Это лишь видимость, поскольку \(r_m\) — не независимый параметр, а определяется \(B\) и \(V\), так что оба ответа совпадают.

e) Для критического магнитного поля максимальное расстояние \(r_m\) равно \(b\) — радиусу внешнего цилиндра, и скорость в точке поворота тогда равна \[v = \frac{eB(b^2 - a^2)}{2mb} .\] Поскольку сила Лоренца не совершает работы, соответствующая кинетическая энергия \(\frac12 mv^2\) равна \(eV\) (вопрос a): \[v = \sqrt{2eV/m} .\] Два последних уравнения согласуются, когда \[\frac{eB(b^2 - a^2)}{2mb} = \sqrt{2eV/m} .\] Следовательно, критическое магнитное поле запирания тока равно \[B_c = \frac{2b}{b^2 - a^2}\sqrt{\frac{2mV}{e}} .\]

f) У силы Лоренца нет составляющей, параллельной магнитному полю, поэтому составляющая скорости \(v_B\) при движении постоянна. Соответствующее смещение вдоль оси цилиндров не имеет значения для вопроса о достижении анода.

Пусть \(v\) — конечная азимутальная скорость электрона, который едва достигает анода. Из закона сохранения энергии \[\tfrac12 m(v_B^2 + v_\varphi^2 + v_r^2) + eV = \tfrac12 m(v_B^2 + v^2) ,\] откуда \[v = \sqrt{v_r^2 + v_\varphi^2 + 2eV/m} . \qquad (6)\] Вычисляя постоянную \(C\) из (3) на поверхностях обоих цилиндров в критическом случае, получаем \[mv_\varphi a - \tfrac12 eB_ca^2 = mvb - \tfrac12 eB_cb^2 .\] Подстановка значения скорости \(v\) из (6) даёт критическое поле \[B_c = \frac{2m(vb - v_\varphi a)}{e(b^2 - a^2)} = \frac{2mb}{e(b^2 - a^2)}\left[\sqrt{v_r^2 + v_\varphi^2 + 2eV/m} - v_\varphi a/b\right].\]