Пять задач

a) Найдите точки, соединённые проводами накоротко, и перерисуйте схему. b) На каждом малом участке склона работа трения равна \(\mu mg\), умноженному на горизонтальное смещение. c) \(C_p = P/(dT/dt)\). d) В стационаре один и тот же поток проходит каждый промежуток. e) Представьте каждый проводник как полный цилиндр минус область перекрытия, где токи взаимно уничтожаются; поле внутри цилиндра с током линейно по \(r\).

a) Систему сопротивлений можно перерисовать так, как показано на рисунке:

Эквивалентная схема показывает, что сопротивление между точкой c и точкой A равно \(0{,}5\text{ Ом}\), и такое же — между точкой d и точкой B. Сопротивление между точками A и B, таким образом, состоит из двух параллельных ветвей: прямого соединения \(1\text{ Ом}\) и соединения из двух последовательных сопротивлений по \(0{,}5\text{ Ом}\), иными словами — из двух параллельных соединений по \(1\text{ Ом}\). Это даёт \[R = 0{,}5\text{ Ом}.\]

b) При достаточно малом горизонтальном смещении \(\Delta s\) путь можно считать прямолинейным. Если соответствующая длина элемента пути равна \(\Delta L\), сила трения равна \[\mu mg\frac{\Delta s}{\Delta L} ,\] а работа силы трения равна произведению силы на перемещение: \[\mu mg\frac{\Delta s}{\Delta L} \cdot \Delta L = \mu mg\Delta s .\]

Суммируя, находим, что на всём пути полная работа сил трения равна \(\mu mgs\). По закону сохранения энергии она должна быть равна уменьшению потенциальной энергии лыжника \(mgh\). Следовательно, \[h = \mu s .\]

c) Пусть за малый промежуток времени \(dt\) температура увеличилась на \(dT\). За этот промежуток металл получает энергию \(P\,dt\).

Теплоёмкость — отношение подведённой энергии к приращению температуры: \[C_p = \frac{P\,dt}{dT} = \frac{P}{dT/dt} .\] Экспериментальным результатам соответствует \[\frac{dT}{dt} = \frac{T_0}{4}a[1 + a(t - t_0)]^{-3/4} = T_0\frac{a}{4}\left(\frac{T_0}{T}\right)^3 .\] Следовательно, \[C_p = \frac{P}{dT/dt} = \frac{4P}{aT_0^4}T^3 .\] (Замечание: при низких, но не очень низких температурах теплоёмкости металлов подчиняются такому закону \(T^3\).)

d)

В стационарном режиме результирующий поток теплоты всюду одинаков: \[\begin{aligned} J &= \sigma(T_h^4 - T_1^4),\\ J &= \sigma(T_1^4 - T_2^4),\\ J &= \sigma(T_2^4 - T_l^4). \end{aligned}\] Складывая эти три уравнения, получаем \[3J = \sigma(T_h^4 - T_l^4) = J_0 ,\] где \(J_0\) — поток теплоты в отсутствие теплового экрана. Таким образом, \(\xi = J/J_0\) принимает значение \[\xi = 1/3 .\]

e) Магнитное поле можно найти как суперпозицию полей двух цилиндрических проводников, поскольку действия токов в области пересечения взаимно уничтожаются. Каждый из цилиндрических проводников должен нести больший ток \(I'\), определённый так, чтобы его часть \(I\) приходилась на действительное сечение (серповидную область). Отношение токов \(I\) и \(I'\) равно отношению площадей сечений: \[\frac{I}{I'} = \frac{\left(\frac{\pi}{12} + \frac{\sqrt3}{8}\right)D^2}{\frac{\pi}{4}D^2} = \frac{2\pi + 3\sqrt3}{6\pi} .\] Внутри одного цилиндрического проводника с током \(I'\) теорема о циркуляции (закон Ампера) даёт на расстоянии \(r\) от оси азимутальное поле \[B_\varphi = \frac{\mu_0}{2\pi r}\,\frac{I'\pi r^2}{\frac{\pi}{4}D^2} = \frac{2\mu_0 I' r}{\pi D^2} .\] Его декартовы составляющие равны \[B_x = -B_\varphi\frac{y}{r} = -\frac{2\mu_0 I' y}{\pi D^2} ; \qquad B_y = B_\varphi\frac{x}{r} = \frac{2\mu_0 I' x}{\pi D^2} .\] Для складываемых полей токи равны \(\pm I'\), а оси соответствующих цилиндров расположены в точках \(x = \mp D/4\).

Две \(x\)-составляющие в сумме дают ноль, а \(y\)-составляющие дают \[B_y = \frac{2\mu_0}{\pi D^2}[I'(x + D/4) - I'(x - D/4)] = \frac{\mu_0 I'}{\pi D} = \frac{6\mu_0 I}{(2\pi + 3\sqrt3)D} ,\] т. е. однородное поле. Оно направлено вдоль положительного направления оси \(y\).