Луна и приливы

Во вращающейся системе поверхность океана — эквипотенциаль суммы центробежного и двух гравитационных потенциалов. Разложите потенциал Луны по \(r/L\): линейный член сокращается с центробежным (так определяется \(\omega\)), остаётся квадратичный — он и даёт горб.

a) Поместив начало координат в центр Земли, пусть центр масс \(C\) находится в точке \(\vec l\). Расстояние \(l\) определяется из \[Ml = M_m(L - l) ,\] откуда \[l = \frac{M_m}{M + M_m}L = 4{,}63 \cdot 10^6\text{ м}, \qquad (1)\] что меньше \(R\), т. е. точка \(C\) находится внутри Земли.

Центробежная сила должна уравновешивать гравитационное притяжение между Луной и Землёй: \[M\omega^2 l = G\frac{MM_m}{L^2} ,\] откуда \[\omega = \sqrt{\frac{GM_m}{L^2 l}} = \sqrt{\frac{G(M + M_m)}{L^3}} = 2{,}67 \cdot 10^{-6}\text{ с}^{-1}. \qquad (2)\] (Это соответствует периоду \(2\pi/\omega = 27{,}2\) суток.) Мы использовали (1), чтобы исключить \(l\).

b) Потенциальная энергия материальной точки \(m\) складывается из трёх вкладов:

(1) Потенциальная энергия, связанная с вращением (во вращающейся системе отсчёта, см. условие задачи), \[-\frac12 m\omega^2 r_1^2 ,\] где \(\vec r_1\) — расстояние от \(C\). Ей соответствует центробежная сила \(m\omega^2 r_1\), направленная от \(C\).

(2) Гравитационное притяжение к Земле: \[-G\frac{mM}{r} .\] (3) Гравитационное притяжение к Луне: \[-G\frac{mM_m}{|\vec r_m|} ,\] где \(\vec r_m\) — расстояние от Луны.

Описывая положение \(m\) полярными координатами \(r\), \(\phi\) в плоскости, перпендикулярной оси вращения (см. рисунок), имеем \[\vec r_1^{\,2} = (\vec r - \vec l)^2 = r^2 - 2rl\cos\phi + l^2 .\]

На рисунке: earth — Земля; moon — Луна.

Складывая три вклада в потенциальную энергию, получаем \[V(\vec r) = -\frac12 m\omega^2(r^2 - 2rl\cos\phi + l^2) - G\frac{mM}{r} - G\frac{mM_m}{|\vec r_m|} . \qquad (3)\] Здесь \(l\) определяется формулой (1), а \[|\vec r_m| = \sqrt{(\vec L - \vec r)^2} = \sqrt{L^2 - 2\vec L\vec r + r^2} = L\sqrt{1 + (r/L)^2 - 2(r/L)\cos\phi} .\]

c) Поскольку отношение \(r/L = a\) очень мало, можно воспользоваться разложением \[\frac{1}{\sqrt{1 + a^2 - 2a\cos\phi}} = 1 + a\cos\phi + a^2\,\tfrac12(3\cos^2\phi - 1) .\] Подстановка в выражение (3) для потенциальной энергии даёт \[V(r, \phi)/m = -\tfrac12\omega^2 r^2 - \frac{GM}{r} - \frac{GM_m r^2}{2L^3}(3\cos^2\phi - 1) , \qquad (4)\] с точностью до постоянной. Мы использовали то, что \[m\omega^2 rl\cos\phi - GmM_m\frac{r}{L^2}\cos\phi = 0 ,\] если подставить значение \(\omega_2\), уравнение (2).

Форма поверхности жидкости такова, что материальная точка имеет одну и ту же энергию \(V\) всюду на поверхности. (Это равносильно требованию, чтобы не было результирующей силы, касательной к поверхности.) Полагая \[r = R + h ,\] где прилив \(h\) много меньше \(R\), имеем приближённо \[\frac1r = \frac{1}{R + h} = \frac1R\cdot\frac{1}{1 + (h/R)} \cong \frac1R\left(1 - \frac hR\right) = \frac1R - \frac{h}{R^2} ,\] а также \[r^2 = R^2 + 2Rh + h^2 \cong R^2 + 2Rh .\] Подставляя это и значение (2) для \(\omega\) в (4), получаем \[V(r, \phi)/m = -\frac{G(M + M_m)R}{L^3}h + \frac{GM}{R^2}h - \frac{GM_m r^2}{2L^3}(3\cos^2\phi - 1) , \qquad (5)\] снова с точностью до постоянной.

Первое слагаемое в правой части (5) по модулю в \[\frac{(M + M_m)}{M}\left(\frac RL\right)^3 \cong 10^{-5}\] раз меньше второго, т. е. пренебрежимо мало. Если оставшиеся два слагаемых в уравнении (5) компенсируют друг друга, т. е. \[h = \frac{M_m r^2 R^2}{2ML^3}(3\cos^2\phi - 1) ,\] то материальная точка \(m\) имеет одинаковую энергию всюду на поверхности. Здесь \(r^2\) можно смело заменить на \(R^2\), что даёт приливный горб \[h = \frac{M_m R^4}{2ML^3}(3\cos^2\phi - 1) .\] Наибольшее значение \(h_{\max} = M_mR^4/ML^3\) достигается при \(\phi = 0\) или \(\pi\), в направлении на Луну или в противоположном направлении, а наименьшее значение \[h_{\min} = -M_mR^4/2ML^3\] соответствует \(\phi = \pi/2\) или \(3\pi/2\).

Разность между уровнями прилива и отлива, следовательно, равна \[h_{\max} - h_{\min} = \frac{3M_mR^4}{2ML^3} = 0{,}54\text{ м}.\] (Значения для прилива и отлива определены с точностью до аддитивной постоянной, но их разность, конечно, от неё не зависит.)