Плутон и Харон

Обозначим радиус орбиты Харона через \(x\). Уравнение движения Харона по круговой орбите радиуса \(x\) имеет вид: \[G\dfrac{Mm}{R^2} = m\omega^2x,\qquad (1)\] где \(M\) — масса Плутона, \(m\) — масса Харона, \(\omega\) — угловая скорость вращения.

Ускорение свободного падения на поверхности Харона в точке, наиболее близкой к Плутону \[g_1 = G\dfrac{m}{r^2} - G\dfrac{M}{(R - r)^2} + \omega^2(x - r).\] Первый член в данном выражении соответствует гравитационному полю Харона, второй член — гравитационному полю Плутона. Последнее слагаемое вызвано движением Харона по круговой орбите.

Аналогичное выражение для ускорения свободного падения в наиболее удаленной к Плутону точке имеет вид: \[g_2 = G\dfrac{m}{r^2} + G\dfrac{M}{(R + r)^2} - \omega^2(x + r).\] Абсолютное различие в ускорениях свободного падения для данных точек Харона \[\Delta g = g_2 - g_1 = GM\left[\dfrac{1}{(R + r)^2} + \dfrac{1}{(R - r)^2}\right] - 2\omega^2x.\] Выражая \(\omega^2x\) из уравнения (1), получим: \[\Delta g = 2G\dfrac{M}{R^2}\left[\dfrac{1 + \beta^2}{(1 - \beta^2)^2}\right] \approx 6G\dfrac{M}{R^2}\beta^2,\] здесь \(\beta = \dfrac{r}{R}\).

Относительное различие в ускорениях свободного падения \[\dfrac{\Delta g}{g} = \left(6G\dfrac{M\beta^2}{R^2}\right)\Big/G\dfrac{m}{r^2} = 6\dfrac{M}{m}\beta^4 = 4\cdot10^{-5}.\]