«Тёмная материя»

Для звёзд кольца на радиусе \(r\) запишите второй закон Ньютона, в котором сила тяготения создаётся массой внутри \(r\). Постоянство скорости задаёт, как масса зависит от \(r\).

Для звёзд кольца на расстоянии \(r\) от центра масса, заключённая внутри сферы радиуса \(r\), \(M(r)\), создаёт притяжение, которое даёт центростремительное ускорение: \[\frac{\upsilon_0^2}{r} = \frac{\gamma M(r)}{r^2}, \qquad M(r) = \frac{\upsilon_0^2}{\gamma}\,r.\] На краю ядра \(M(r_\text{Я}) = M_\text{Я}\), поэтому \[M_\text{Я} = \frac{\upsilon_0^2 r_\text{Я}}{\gamma} = \frac{(2{,}4\cdot 10^5)^2\cdot 1{,}234\cdot 10^{20}}{6{,}67\cdot 10^{-11}}\text{ кг} \approx 1{,}1\cdot 10^{41}\text{ кг}.\] Средняя плотность ядра: \[\rho_\text{Я} = \frac{M_\text{Я}}{\frac{4}{3}\pi r_\text{Я}^3} \approx 1{,}35\cdot 10^{-20}\text{ кг/м}^3.\] Масса «тёмной материи» внутри радиуса \(r\) (вне ядра) равна \[M_\text{Т}(r) = M(r) - M_\text{Я} = \frac{\upsilon_0^2}{\gamma}\,(r - r_\text{Я}).\] Её плотность \[\rho_\text{Т}(r) = \frac{dM_\text{Т}}{4\pi r^2\,dr} = \frac{\upsilon_0^2}{4\pi\gamma r^2}.\] Полная масса «тёмной материи», влияющей на движение звёзд диска (от \(r_\text{Я}\) до \(15\,r_\text{Я}\)): \[M_\text{Т} = \frac{\upsilon_0^2}{\gamma}\,14\,r_\text{Я} = 14\,M_\text{Я},\] т.е. искомое отношение равно \(14\).