Куб собран из одинаковых резисторов, имеющих сопротивления \(R\). Четыре резистора заменены на идеальные перемычки, как указано на рисунке. Найдите общее сопротивление получившейся системы между контактами \(A\) и \(B\). Через какие резисторы сила текущего тока максимальна, а через какие — минимальна? Найдите эти значения силы тока, если сила тока, входящего в узел \(A\), равна \(I_0 = 1{,}2\text{ А}\). Какова сила тока, текущего через идеальную перемычку \(AA'\)?

1) \(R_{AB} = \dfrac{5R}{12}\); 2) максимальный ток \(0{,}5\text{ А}\) в ветви \(A'B'\), минимальный ток \(0{,}1\text{ А}\) в ветви \(CL\); 3) \(0{,}7\text{ А}\).

Четыре в кубе — ВсОШ 2015/16, 11 кл., задача 3

Четыре в кубе
ВсОШ 2015/16, 11 кл.
6/10
Куб собран из одинаковых резисторов, имеющих сопротивления \(R\). Четыре резистора заменены на идеальные перемычки, как указано на рисунке.
1. Найдите общее сопротивление получившейся системы между контактами \(A\) и \(B\).
2. Через какие резисторы сила текущего тока максимальна, а через какие — минимальна? Найдите эти значения силы тока, если сила тока, входящего в узел \(A\), равна \(I_0 = 1{,}2\text{ А}\).
3. Какова сила тока, текущего через идеальную перемычку \(AA'\)?
▶Показать разборСкрыть разбор
Подсказка
Расставьте токи по ветвям схемы с учётом закона сохранения заряда, введите одну неизвестную силу тока \(I\) и выразите остальные через неё через условие равенства напряжений между узлами.
Ответ
1) \(R_{AB} = \dfrac{5R}{12}\); 2) максимальный ток \(0{,}5\text{ А}\) в ветви \(A'B'\), минимальный ток \(0{,}1\text{ А}\) в ветви \(CL\); 3) \(0{,}7\text{ А}\).
Решение
Изобразим эквивалентную схему и расставим токи в ветвях с учётом закона сохранения заряда и симметрии соединения резисторов. Пусть сила тока в ветви, где ток \(I\), равна \(I\). Силу тока \(I_1\) найдём, приравняв разность потенциалов между узлами \(A\) и \(L\) для ветвей \(AL\) и \(ACL\): \[I_1 R = IR + (2I - I_1)R \quad\Rightarrow\quad I_1 = \frac{3I}{2}.\] Аналогично найдём силу тока \(I_2\): \[U_0 = I_2 R = I_1 R + IR = \frac{5IR}{2} \quad\Rightarrow\quad I_2 = \frac{5I}{2}.\] Сила тока \(I_0 = 2I + I_1 + I_2 = 6I\), отсюда \(I = I_0/6 = 0{,}2\text{ А}\).

Общее сопротивление цепи: \[R_{AB} = \frac{U_0}{I_0} = \frac{5IR/2}{6I} = \frac{5R}{12}.\] Минимальная сила тока в ветви \(CL\) равна \(2I - I_1 = I/2 = 0{,}1\text{ А}\). Максимальная сила тока в ветви \(A'B'\) равна \(I_2 = 5I/2 = 0{,}5\text{ А}\).

Сила тока, текущего через идеальную перемычку \(AA'\), равна сумме токов через резисторы в ветвях \(A'C\) и \(A'B'\): \(\dfrac{7I}{2} = 0{,}7\text{ А}\).
Вся олимпиада на сайте
в вариантСтраница задачи Ошибка в задаче?

Четыре в кубе

Четыре в кубе

Похожие задачи