Колебаниям — нет!

В начальный момент тока нет, значит, напряжение на катушке равно напряжению на конденсаторе. Из постоянства напряжения на катушке найдите ток, затем заряд на конденсаторе и его ёмкость.

В начальный момент ток в цепи не течёт, поэтому \(U_L = U_C = \dfrac{Q_0}{C_0}\). Поскольку \(U_L = L\dfrac{dI}{dt}\) и остаётся постоянным, то \[I = \frac{Q_0}{C_0 L}\,t.\] По закону Ома для полной цепи \[U = U_L + RI(t) = L\frac{dI}{dt} + RI(t) = \frac{Q_0}{C_0} + \frac{Q_0 R}{C_0 L}\,t = \frac{Q_0}{C_0}\left(1 + \frac{R}{L}\,t\right).\] Заряд на конденсаторе меняется по закону \[Q(t) = Q_0 - \frac{Q_0}{C_0 L}\int_0^t \tau\,d\tau = Q_0\left(1 - \frac{t^2}{2C_0L}\right).\] Отсюда ёмкость \[C(t) = \frac{Q(t)}{U(t)} = C_0\,\frac{1 - \dfrac{t^2}{2C_0L}}{1 + \dfrac{Rt}{L}}.\] Примечание: условие постоянства напряжения на индуктивности может выполняться только конечное время, поэтому \(t < t_1 = \sqrt{C_0 L}\).

Работу внешних сил найдём из закона сохранения энергии: \[A = W_R + \Delta W_C + \Delta W_L.\] Энергия конденсатора \(W_C = \dfrac{1}{2}QU = \dfrac{Q_0^2}{2C_0}\left(1 - \dfrac{t^2}{2C_0L}\right)\left(1 + \dfrac{R}{L}t\right)\). Отсюда \(W_C(0) = \dfrac{Q_0^2}{2C_0}\), а при \(t_1\), учитывая \(\dfrac{R}{L}t_1 = 1\) и \(\dfrac{t_1^2}{2C_0L} = \dfrac12\), \(W_C(t_1) = \dfrac{Q_0^2}{2C_0}\cdot\dfrac{1}{2}\cdot 2 = \dfrac{Q_0^2}{2C_0}\), т.е. \(\Delta W_C = 0\).

Энергия катушки при \(t_1\): \(\Delta W_L = \dfrac{L I^2(t_1)}{2} = \dfrac{Q_0^2}{2C_0}\).

Окончательно \[A = \frac{Q_0^2}{3C_0} + 0 + \frac{Q_0^2}{2C_0} = \frac{5Q_0^2}{6C_0}.\]