Бусинка на палочке в поле Земли

Обозначим расстояние от центра Земли до ближнего конца палочки за \(y\) (в начале падения \(y = r\)). Разобьём палочку на малые части длиной \(\Delta x_i\), находящиеся на расстояниях \(x_i\) от этого конца, и найдём силу, с которой палочка притягивается к Земле: \[F = \sum_i\dfrac{Gm_iM_{\text{З}}}{(y + x_i)^2} = \sum_i\dfrac{Gm_{\text{п}}M_{\text{З}}\Delta x_i}{l(y + x_i)^2} = \dfrac{1}{l}\sum_i\dfrac{Gm_{\text{п}}M_{\text{З}}\Delta x_i}{(y + x_i)^2},\] где \(m_{\text{п}}\) и \(M_{\text{З}}\) — массы палочки и Земли. Сумма в последнем выражении численно равна работе против гравитационных сил по перемещению материальной точки массой \(m_{\text{п}}\) от расстояния \(y\) до \(y + l\) от центра Земли. Для этой работы можно записать: \[A = Gm_{\text{п}}M_{\text{З}}\left(\dfrac{1}{y} - \dfrac{1}{y + l}\right).\] Отсюда \[F = \dfrac{1}{l}Gm_{\text{п}}M_{\text{З}}\dfrac{l}{y(y + l)} = \dfrac{Gm_{\text{п}}M_{\text{З}}}{y(y + l)}.\] Заменим теперь палочку на материальную точку массой \(m_{\text{п}}\), находящуюся на расстоянии \(c\) от ближнего к Земле конца палочки так, чтобы сила гравитационного взаимодействия не изменилась: \[F = \dfrac{Gm_{\text{п}}M_{\text{З}}}{y(y + l)} = \dfrac{Gm_{\text{п}}M_{\text{З}}}{(y + c)^2},\] или \(y^2 + yl = y^2 + 2yc + c^2\). Поскольку \(c \sim l \ll y\), то \(yc \gg c^2\) и \(yl \gg c^2\), то есть \(c \approx l/2\).

Найдём разницу ускорений бусинки \(a_{\text{б}}\) и палочки \(a_{\text{п}}\), учитывая, что \(b \ll l \ll y\) и \(GM_{\text{З}} = gR_{\text{З}}^2\), где \(g\) — ускорение свободного падения на поверхности Земли: \[a_{\text{б}} - a_{\text{п}} \approx \dfrac{gR_{\text{З}}^2}{(y + b)^2} - \dfrac{gR_{\text{З}}^2}{\left(y + \dfrac{l}{2}\right)^2} = \dfrac{gR_{\text{З}}^2\left(yl + \dfrac{l^2}{4} - 2yb - b^2\right)}{(y + b)^2\left(y + \dfrac{l}{2}\right)^2} \approx \dfrac{gR_{\text{З}}^2yl}{y^4} = \dfrac{glR_{\text{З}}^2}{y^3}.\] Теперь, зная ускорение бусинки относительно палочки, мы можем оценить время \(t\), необходимое бусинке для соскальзывания с палочки, из следующего соотношения: \(b = \dfrac{(a_{\text{б}} - a_{\text{п}})t^2}{2} = \dfrac{gR_{\text{З}}^2l}{y^3}\cdot\dfrac{t^2}{2} \approx \dfrac{gR_{\text{З}}^2lt^2}{2r^3}\). Отсюда \(t \approx \sqrt{\dfrac{2br^3}{glR_{\text{З}}^2}} \approx 7\cdot 10^3\) с.

Осталось оценить расстояние \(L\), которое палочка пролетит за это время, и убедиться, что оно мало по сравнению с \(r\): \[L \approx \dfrac{gR_{\text{З}}^2}{r^2}\cdot\dfrac{t^2}{2} \approx \dfrac{gR_{\text{З}}^2}{2r^2}\cdot\dfrac{2br^3}{glR_{\text{З}}^2} = \dfrac{br}{l} \approx 10^6\text{ м} \ll r = 10^8\text{ м}.\] Поэтому ускорения бусинки и палочки, а также разность этих ускорений мы можем считать постоянными, и наши оценки справедливы.