Три отрезка троса

Пусть \(T\) и \(T_1\) — силы натяжения среднего и каждого из крайних отрезков троса соответственно, \(\Delta x\) и \(\Delta x_1\) — удлинения среднего и крайних отрезков, \(E\) и \(S\) — модуль Юнга и площадь поперечного сечения троса, \(L\) — расстояние между точками подвеса его крайних и среднего отрезков (см. рис. 1.180).

Найдём связь между удлинениями отрезков троса, воспользовавшись теоремой косинусов: \[\left(\dfrac{L}{\sin\alpha} + \Delta x_1\right)^2 = \Delta x^2 + \dfrac{L^2}{\sin^2\alpha} + 2\Delta x\dfrac{L}{\sin\alpha}\cos\alpha.\] Отсюда, пренебрегая квадратами малых удлинений по сравнению с их первыми степенями, получаем: \(\Delta x_1 \approx \Delta x\cos\alpha\).

Таким образом, в соответствии с законом Гука, \[T = ES\cdot\dfrac{\Delta x}{L/\operatorname{tg}\alpha} = \dfrac{ES\Delta x\sin\alpha}{L\cos\alpha},\] \[T_1 = ES\cdot\dfrac{\Delta x_1}{L/\sin\alpha} = \dfrac{ES\Delta x\cos\alpha\sin\alpha}{L},\] откуда \(T_1 = T\cos^2\alpha\).

Поскольку груз покоится, то сумма всех действующих на него сил равна нулю. Запишем это условие в проекции на вертикальную ось: \[T + 2T_1\cos\alpha = mg.\] Подставляя сюда выражение для \(T_1\), получаем ответ: \[T = \dfrac{mg}{1 + 2\cos^3\alpha}.\]