Пролёт мимо провода

Пусть заряженная частица пролетает над проводом, заряженным одноименно, вдоль оси \(x\) (рис. 132), и пусть в некоторый момент она находится на расстоянии \(R\) от провода. Радиус-вектор \(\vec R\) составляет угол \(\psi\) с осью \(y\). В этот момент на частицу действует электростатическая сила \[F = eE = \dfrac{eq}{2\pi\varepsilon_0R}.\] Проекция этой силы на ось \(y\) \[F_y = \dfrac{eq\cos\psi}{2\pi\varepsilon_0R}.\] Уравнение движения частицы вдоль оси \(y\) можно записать в виде: \[m\,dv_y = F_y\,dt = \dfrac{eq\cos\psi}{2\pi\varepsilon_0R}\,dt.\qquad (1)\] За малое время \(dt\) частица смещается вдоль оси \(x\) на расстояние \(dx\), а радиус-вектор \(\vec R\) поворачивается на малый угол \(d\psi\). Эти приращения связаны между собой: \[dt = \dfrac{dx}{v_x} = \dfrac{R\,d\psi}{v_x\cos\psi},\qquad (2)\] где \(v_x\) — скорость частицы вдоль оси \(x\). Мы полагаем, что она практически не изменяется и все время остается равной скорости частицы.

После подстановки (2) в (1), получим \[dv_y = \dfrac{eq\,d\psi}{2\pi\varepsilon_0mv_x} = \dfrac{v_xeq\,d\psi}{4\pi\varepsilon_0W}.\] За все время пролета угол \(\psi\) изменяется от \(-\dfrac{\pi}{2}\) до \(\dfrac{\pi}{2}\), а вертикальная составляющая скорости частицы — от нуля до некоторого значения \(v_y\), поэтому \[v_y = \dfrac{eqv_x}{4\varepsilon_0W}.\] Угол отклонения скорости частицы от горизонтали на большом удалении от провода \[\alpha = \dfrac{v_y}{v_x} = \dfrac{eq}{4\varepsilon_0W}.\]