Разлетающиеся шарики

Шарики отталкиваются, их скорости растут, а сила убывает с расстоянием. Запишите закон сохранения энергии для системы и выразите время удвоения расстояния от начального расстояния \(r_0\); как оно зависит от \(r_0\)?

\(t_2=3\sqrt3\,t\approx5{,}2\,t\).

Что происходит. Заряды одного знака отталкиваются (иначе расстояние не удвоилось бы). Сила убывает по мере разлёта, ускорение не постоянно, поэтому формулы равноускоренного движения не годятся. Но ход всего разлёта определяется законом сохранения энергии, а он подобен при изменении масштаба: после увеличения начального расстояния в \(3\) раза всё движение растягивается во времени в определённое число раз. Найдём это число.

Обозначения. \(r\) — расстояние между шариками, \(r_0\) — начальное; \(m\) — масса каждого; \(\alpha=kq_1q_2>0\) — произведение постоянной Кулона и зарядов; потенциальная энергия пары равна \(\alpha/r\).

1. Скорости шариков. Система двух шариков замкнута, начальный импульс равен нулю, значит, скорости шариков равны по модулю и противоположны: каждый движется со скоростью \(v=\dot r/2\).

2. Закон сохранения энергии для системы двух шариков между начальным моментом и моментом, когда расстояние равно \(r\): \[\frac{\alpha}{r_0}=\frac{\alpha}{r}+2\cdot\frac{mv^2}{2}=\frac{\alpha}{r}+\frac{m\dot r^2}{4} \quad\Longrightarrow\quad \dot r=2\sqrt{\frac{\alpha}{m r_0}}\sqrt{1-\frac{r_0}{r}} .\]

3. Время разлёта. Введём безразмерное расстояние \(x=r/r_0\), \(dr=r_0\,dx\). Тогда \[dt=\frac{dr}{\dot r}=\frac{r_0^{3/2}}{2}\sqrt{\frac{m}{\alpha}}\;\frac{dx}{\sqrt{1-1/x}} .\] Время, за которое расстояние выросло от \(r_0\) до \(2r_0\) (от \(x=1\) до \(x=2\)), равно \[t(r_0)=\frac{r_0^{3/2}}{2}\sqrt{\frac{m}{\alpha}}\int\limits_1^{2}\frac{dx}{\sqrt{1-1/x}}=A\,r_0^{3/2},\] где постоянная \(A\) не зависит от \(r_0\): интеграл — просто число (оно равно \(\sqrt2+\ln(1+\sqrt2)\approx2{,}30\)), а остальное — заряды и массы, те же в обоих опытах.

4. Сравнение опытов. В первом опыте \(r_0=l\) и время равно \(t=A\,l^{3/2}\), во втором \(r_0=3l\): \[t_2=A\,(3l)^{3/2}=3^{3/2}\,t=3\sqrt3\,t .\]

Обратите внимание. Не годятся ни ускорение \(a=\mathrm{const}\) (получилось бы \(\sqrt3\)), ни линейное подобие времён: время растёт как \(r_0^{3/2}\), а не как \(r_0\).

Ответ. \[t_2=3\sqrt3\,t\approx5{,}2\,t .\]

Проверка. Размерность: \([r_0^{3/2}\sqrt{m/\alpha}]=\text{м}^{3/2}\cdot\sqrt{\text{кг}/(\text{Н}\cdot\text{м}^2)}=\text{м}^{3/2}\cdot\text{с}/\text{м}^{3/2}=\text{с}\). Второй способ — подобие: заменим все расстояния в \(3\) раза большими; энергия \(\alpha/r\) уменьшится в \(3\) раза, скорости (корень из энергии на массу) — в \(\sqrt3\) раза; время есть расстояние, делённое на скорость, то есть вырастет в \(3\sqrt3\) раз. Это тот же закон, что у планет (третий закон Кеплера): период пропорционален радиусу в степени \(3/2\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.