Газ в сосуде с отверстием

Молекулы пролетают отверстие по одной, не мешая друг другу. В установившемся состоянии число молекул, входящих в сосуд за секунду, равно числу выходящих; сколько их подлетает к отверстию, зависит от концентрации и от скорости молекул.

\(p_1=2p\).

Что происходит. Газ так разрежен, что молекулы проходят отверстие, не сталкиваясь, каждая сама по себе. Поэтому давления по обе стороны отверстия не обязаны выравниваться: в плотном газе, где столкновения частые, перетекание газа выровняло бы давление, а здесь выравнивается другое. Концентрация в сосуде не меняется, пока число молекул, входящих в сосуд за единицу времени, равно числу выходящих. Это условие и есть ключ.

Обозначения. В сосуде: концентрация \(n_1\), температура \(T_1=4T\), давление \(p_1\). Снаружи: \(n_2\), \(T\), \(p\). \(S\) — площадь отверстия, \(\bar v\) — средняя скорость молекул.

1. Сколько молекул пролетает отверстие. За малое время \(\Delta t\) к отверстию с одной из сторон подлетают молекулы из слоя толщиной порядка \(\bar v\,\Delta t\), летящие в его сторону. Их число пропорционально \(n\,\bar v\,S\,\Delta t\), а числовой множитель зависит только от распределения молекул по направлениям, одинакового по обе стороны (в обоих газах оно беспорядочное). Значит, для любой из сторон \[\Delta N=\gamma\, n\,\bar v\,S\,\Delta t ,\] где \(\gamma\) — одна и та же постоянная.

2. Равенство потоков. В установившемся состоянии число молекул, влетающих в сосуд за \(\Delta t\), равно числу вылетающих из него: \[\gamma\, n_2\,\bar v_2\,S\,\Delta t=\gamma\, n_1\,\bar v_1\,S\,\Delta t \quad\Longrightarrow\quad n_2\,\bar v_2=n_1\,\bar v_1 .\]

3. Скорости. Средняя кинетическая энергия молекулы пропорциональна температуре, поэтому \(\bar v\propto\sqrt T\) и \[\frac{\bar v_1}{\bar v_2}=\sqrt{\frac{4T}{T}}=2 .\] Из равенства потоков \(n_1=n_2/2\): в горячем сосуде молекул в единице объёма вдвое меньше.

4. Давление. Давление газа \(p=nkT\) (\(k\) — постоянная Больцмана). Снаружи \(p=n_2kT\), в сосуде \[p_1=n_1k\cdot 4T=\frac{n_2}{2}\,k\cdot 4T=2\,n_2kT=2p .\]

Обратите внимание. Ответ не \(p\). Равенство давлений по обе стороны отверстия — условие равновесия для плотного газа, где отверстие велико по сравнению с длиной свободного пробега; здесь равны потоки молекул, а не давления.

Ответ. В общем случае \(p_1=p\sqrt{T_1/T}\); при \(T_1=4T\) \[p_1=2p .\]

Проверка. При \(T_1=T\) формула даёт \(p_1=p\): газ одной температуры, давление одинаково, как и должно быть. Так как \(n\sqrt T=p/(k\sqrt T)\), равенство потоков \(n_1\sqrt{T_1}=n_2\sqrt T\) означает \(p_1/\sqrt{T_1}=p/\sqrt T\): отношение давления к корню из температуры одинаково по обе стороны, и \(p_1=p\sqrt{T_1/T}\) тем же способом получается и для других температур. Физический смысл такой: нагретый газ быстрее и сильнее бьёт по стенке, но чтобы пропускать столько же молекул, ему нужно вдвое меньше молекул в единице объёма; вдвое быстрее и вдвое реже — давление вдвое больше (рисунок ниже).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.