Пружина из проволоки

Растягивая пружину, мы закручиваем проволоку: сила вдоль оси пружины даёт на каждом витке момент относительно проволоки. Найдите, во сколько раз удлинение пружины больше угла, на который закручена вся проволока.

\(\mu=\dfrac{k}{R^2}\).

Что происходит. Шаг витков мал, поэтому каждый виток почти плоский, а проволока почти перпендикулярна оси пружины. Сила \(F\), растягивающая пружину вдоль оси, создаёт на каждом участке проволоки момент относительно самой проволоки, равный \(FR\), и закручивает её: растяжение пружины — это закручивание проволоки. Изгибом и сдвигом пренебрегаем: напряжения от изгиба и сдвига в \(R/r\) раз меньше напряжений кручения (\(r\) — радиус сечения проволоки, \(r\ll R\)). Тогда задача сводится к двум связям: момент и угол закручивания — по данной в условии формуле, угол закручивания и удлинение пружины — геометрически.

Обозначения. \(\mu\) — искомый коэффициент упругости пружины (\(F=\mu\,\Delta H\)), \(\Delta H\) — удлинение пружины, \(\varphi\) — полный угол закручивания проволоки, \(n\) — число витков, \(\beta\) — малый угол, на который наклоняется половина витка при растяжении.

1. Момент. Сила \(F\) направлена вдоль оси пружины, а проволока в любом сечении почти перпендикулярна оси и находится на расстоянии \(R\) от неё. Момент силы \(F\) относительно касательной к проволоке в этом сечении равен \(M=FR\). Это закручивающий момент, одинаковый во всех сечениях; по условию для проволоки длины \(l\) \[M=k\varphi,\qquad \varphi=\frac{M}{k}=\frac{FR}{k}.\]

2. Растяжение и закручивание. Возьмём один виток и разобьём на две половины (хорды длины \(2R\)): \(AC\) и \(CB\) (рис.). При растяжении пружины каждая половина наклоняется на малый угол \(\beta\) относительно плоскости, перпендикулярной оси; высота подъёма на половине витка равна \(\Delta h=2R\sin\beta\approx2R\beta\), на целом витке \(4R\beta\).

Сечения \(A\), \(C\), \(B\) при этом не поворачиваются: растяжение наклоняет верхнюю и нижнюю половины витка на одинаковые углы в разные стороны, и по симметрии сечение \(C\) сохраняет ориентацию, как и сечения \(A\), \(B\) (их соседи наклонены точно так же). Но наклон хорды на \(\beta\) повернул бы её концы на \(\beta\), а им надо остаться как были. Значит, на каждом конце хорды проволока закручена на \(\beta\), половина витка закручена на \(2\beta\), целый виток — на \(4\beta\), а вся проволока из \(n\) витков — на \[\varphi=4n\beta .\] Удлинение пружины на всех витках \[\Delta H=4nR\beta=R\varphi .\] (Длина одного витка \(2\pi R\), длина проволоки \(l\), число витков \(n=l/(2\pi R)\); от \(n\) и \(l\) ответ не зависит.)

3. Коэффициент упругости. Подставим \(\varphi=FR/k\) в \(\Delta H=R\varphi\): \[\Delta H=\frac{FR^2}{k}\quad\Longrightarrow\quad \mu=\frac{F}{\Delta H}=\frac{k}{R^2}.\]

Обратите внимание. Коэффициент \(k\) относится ко всей проволоке длиной \(l\), а не к её единице длины, поэтому полный угол закручивания \(\varphi\) нужно связывать с удлинением всей пружины. Угол закручивания \(\varphi\) и угол наклона витка \(\beta\) — разные величины: \(\varphi=4n\beta\).

Ответ. \[\mu=\frac{k}{R^2}.\]

Проверка. Размерность: \(k\) — Н\(\cdot\)м, \(R^2\) — м\(^2\), отношение имеет размерность Н/м, как у коэффициента упругости. Второй способ — по энергии: энергия закрученной проволоки \(\tfrac12k\varphi^2\) равна энергии растянутой пружины \(\tfrac12\mu\Delta H^2\); при \(\Delta H=R\varphi\) получаем тот же \(\mu=k/R^2\). Для тонкой проволоки с модулем сдвига \(G\) и диаметром \(d\) величина \(k=\pi G d^4/(32\,l)\), и \(\mu=k/R^2\) даёт известную формулу пружины \(\mu=Gd^4/(8nD^3)\) при \(D=2R\), \(l=n\pi D\).

Прочитали решение — спросите себя, как можно было до этого додуматься. А через день-два решите задачу заново, не подглядывая.