Грузы на пружинах и блок
6/10Система грузов изображена на рис. 17.10. Пружины одним концом прикреплены к неподвижной опоре, а другим — к грузам массы \(m\). Блок и нить в этой системе невесомы, а пружины изначально не деформированы. Левый груз опускают вниз на расстояние \(x\) и затем без толчка отпускают. Найдите ускорения грузов сразу после того, как его отпустили. Жёсткости пружин равны \(k_1\) и \(k_2\), причём \(k_1 > k_2\).
▶Показать разборСкрыть разбор
ОтветПри \(x < \dfrac{2mg}{k_1 - k_2}\) ускорения грузов одинаковы по модулю: \(|a| = \dfrac{k_1 + k_2}{2m}x\); при \(x > \dfrac{2mg}{k_1 - k_2}\) грузы движутся независимо: \(a_1 = g - \dfrac{k_1x}{m} < 0\), \(a_2 = \dfrac{k_2x}{m} + g > 0\).
РешениеРешение задачи иллюстрирует рис. 85.
Запишем уравнения второго закона Ньютона для обоих грузов в проекциях на ось \(x\), направленную вертикально вниз: \[-T - k_1x + mg = ma,\qquad(1)\] \[mg + k_2x - T = -ma.\qquad(2)\] При написании этих уравнений предполагалось, что \(a_1 = -a_2 = a\). Отсюда находим силу натяжения нити \(T\): \(T = mg - \dfrac{k_1 - k_2}{2}x\).
Сила натяжения нити \(T\) может принимать только неотрицательные значения (\(T \geqslant 0\)), поэтому возможны два случая.
1) Если \(x < \dfrac{2mg}{k_1 - k_2}\), то нить после отпускания левого груза натянута, а ускорения грузов одинаковы по модулю. Из уравнений (1) и (2) получаем \(|a| = \dfrac{k_1 + k_2}{2m}x\).
2) Если \(x > \dfrac{2mg}{k_1 - k_2}\), то нить в течение некоторого времени будет провисать, а левый и правый грузы будут двигаться независимо друг от друга с ускорениями \(a_1\) и \(a_2\) соответственно: \[a_1 = g - \dfrac{k_1x}{m} < 0,\quad a_2 = \dfrac{k_2x}{m} + g > 0.\]
Похожие задачи
- Жёсткость стержней МОШ 1960/1986, 8-11 кл.
- Грузы и пружины после перерезания нити МОШ 1960/1986, 8-11 кл.
- Остаточная деформация стержня МОШ 1960/1986, 8-11 кл.
- Пружина под действием веса ВсОШ 1992/2001, 10 кл.
- Критическая длина трещины ВсОШ 1992/2001, 9 кл.
- Согнуть кочергу МОШ 1997/98, 10 кл.