Шар и клин

Поскольку трения нет, то во время столкновения шара с клином на шар со стороны клина действует сила, перпендикулярная поверхности клина, т. е. шар приобретает скорость под углом \(\alpha\) к вертикали (рис. 86).

Найдём скорости шара \(V\) и клина \(v'\) после столкновения, для чего запишем закон сохранения энергии и закон сохранения импульса в проекции на горизонтальную ось \(x\): \[\dfrac{Mv^2}{2} = \dfrac{mV^2}{2} + \dfrac{Mv'^2}{2},\qquad(1)\] \[Mv = mV\sin\alpha + Mv'.\qquad(2)\] Из (2) находим \(v' = v - \dfrac{m}{M}V\sin\alpha\). Подставляя это выражение в (1), получим \[V = \dfrac{2v\sin\alpha}{1 + \dfrac{m}{M}\sin^2\alpha}.\] Зная скорость шара \(V\), определим скорость клина \(v'\), используя ранее полученное выражение: \[v' = v\left(\dfrac{1 - \dfrac{m}{M}\sin^2\alpha}{1 + \dfrac{m}{M}\sin^2\alpha}\right).\] Найдём составляющие \(u_x\) и \(u_y\) скорости шара относительно клина: \[u_y = V_y = V\cos\alpha = \dfrac{2v\sin\alpha\cos\alpha}{1 + \dfrac{m}{M}\sin^2\alpha},\] \[u_x = V_x - v' = v\dfrac{\left(2 + \dfrac{m}{M}\right)\sin^2\alpha - 1}{1 + \dfrac{m}{M}\sin^2\alpha}.\] При \(M = \dfrac{m}{2}\) и \(\sin\alpha = \dfrac{1}{2}\) скорость \(u_x = 0\), т. е. шар относительно клина движется вертикально вверх. Искомое время \(t_0 = \dfrac{2u_y}{g}\).

Так как \(u_y = \dfrac{v}{\sqrt{3}}\), то \(t_0 = \dfrac{2}{\sqrt{3}}\cdot\dfrac{v}{g} \approx 0{,}6\) с.