Плавающий брусок

Брусок плавает в устойчивом положении, если при его отклонении на небольшой угол \(\alpha\) (рис. 87) возникает вращающий момент сил.

Момент сил удобно считать относительно продольной оси, проходящей через центр \(C\) торцевого сечения бруска, так как относительно этой оси момент силы тяжести бруска равен нулю. Момент архимедовой силы, действующей на погружённую в воду часть бруска, равен \[M = M_{OKD} - (M_{ABDN} - M_{ONE}).\] Обозначим \(M_{ABDN}\) через \(M_1\), а \(M_{OKD}\) — через \(M_2\). Поскольку по модулю \(M_{OKD} = M_{ONE} = M_2\), то положение бруска будет устойчивым, если \(2M_2 > M_1\). В свою очередь, имеем \[M_1 = \rho gLahl_1,\] где \(\rho\) — плотность воды, \(L\) — длина бруска, \(l_1 = \left(\dfrac{a}{2} - \dfrac{h}{2}\right)\alpha\), \[M_2 = \rho gL\dfrac{1}{2}\dfrac{a}{2}\dfrac{a}{2}\alpha l_2,\] где \[l_2 = \dfrac{2}{3}\dfrac{a}{2} + \left(h + \dfrac{a}{2}\right)\alpha.\] Неизвестную величину \(h\) можно найти из условия \[\rho ahL = \rho_xa^2L,\] где \(\rho_x\) — плотность бруска.

Введём обозначение: \(x = \rho_x/\rho\), тогда \(h = xa\). С учётом этого условие устойчивости бруска примет вид \[x^2 - \left(1 - \dfrac{\alpha}{2}\right)x + \dfrac{2 - 3\alpha}{12} > 0.\] Поскольку \(\alpha\) — малый параметр, неравенство можно упростить: \(x^2 - x + \dfrac{1}{6} > 0\). Решая это неравенство, получим \[0 < x < 0{,}21\quad\text{и}\quad 0{,}79 < x < 1.\] Так как плотность воды равна \(\rho = 1\) г/см\(^3\), имеем окончательно \[0 < \rho_x < 0{,}21\text{ г/см}^3\quad\text{и}\quad 0{,}79\text{ г/см}^3 < \rho_x < 1\text{ г/см}^3.\]