Вращающееся кольцо из пружины

Каждый маленький элемент кольца, изготовленного из пружины и имеющего радиус \(R\), при угловой скорости вращения \(\omega\) движется с центростремительным ускорением \(a = \omega^2R\). Если обозначить через \(\Delta\alpha\) угол между радиусами, проведёнными от оси вращения к концам этого элемента (см. рисунок), то его масса будет равна \(\dfrac{m}{2\pi}\Delta\alpha\). Действующая на рассматриваемый элемент центростремительная сила \(\Delta F = T\Delta\alpha\) обеспечивается силой натяжения пружины \(T = k(2\pi R - l)\) (для удобства нахождения \(\Delta F\) на рисунке совмещены начала векторов \(T\)).

Таким образом, уравнение движения для данного элемента пружины имеет вид: \(\dfrac{m}{2\pi}\Delta\alpha\,\omega^2R = k(2\pi R - l)\Delta\alpha\), откуда \[R = \dfrac{l}{2\pi - \dfrac{m\omega^2}{2\pi k}}.\] Таким образом, с увеличением \(\omega\) радиус кольца \(R\) растёт, стремясь «к бесконечности» при критической угловой скорости \(\omega_0 = 2\pi\sqrt{k/m}\), когда пружина или растягивается до предела её упругости, или рвётся.