Труба с грузом на наклонной плоскости

Если труба не вращается, то её скольжение по плоскости, наклонённой под углом \(\alpha\) к горизонту, начнётся при условии, что коэффициент трения трубы о плоскость \(\mu < \operatorname{tg}\alpha\).

Условием отсутствия вращения является равенство нулю суммы моментов сил, действующих на трубу, записанное, например, относительно точки её опоры на плоскость. Максимальный угол \(\alpha_{\max}\), при котором равновесие ещё возможно, определяется из соотношения (см. рисунок): \[MgR\sin\alpha_{\max} = mgR(1 - \sin\alpha_{\max}),\] откуда \(\sin\alpha_{\max} = \dfrac{m}{m + M}\). При бо́льших углах, если скольжение ещё не началось, труба покатится вниз по плоскости. Поэтому для того, чтобы она начала соскальзывать без вращения, должно выполняться условие: \[\mu < \operatorname{tg}\alpha_{\max} = \dfrac{\sin\alpha_{\max}}{\sqrt{1 - \sin^2\alpha_{\max}}} = \dfrac{m}{\sqrt{M(M + 2m)}}.\]