Стержень в бассейне

Средняя плотность стержня \(\dfrac{\rho_1 + \rho_2}{2} = 1{,}25\) г/см\(^3\) больше плотности воды \(\rho_0 = 1{,}0\) г/см\(^3\), поэтому плавать он не может, и после наливания воды в бассейн должен опираться более тяжёлым концом на дно. При этом тяжёлая половина стержня будет погружена в воду полностью, а лёгкая может быть погружена лишь частично (см. рисунок).

Обозначим длину той части лёгкой половины стержня, которая находится под водой, через \(l\), площадь поперечного сечения стержня — через \(S\), и найдём все силы, действующие на стержень. Это — сила реакции со стороны дна \(N\), силы тяжести \(F_1 = (1/2)LS\rho_1 g\) и \(F_2 = (1/2)LS\rho_2 g\), действующие на лёгкую и тяжёлую половины стержня соответственно, и сила Архимеда \(F_{\text{А}} = \rho_0 gS\left(\dfrac{L}{2} + l\right)\). Отметим, что силы тяжести \(F_1\) и \(F_2\) приложены к центрам масс соответствующих половин стержней, то есть к их серединам, а сила Архимеда \(F_{\text{А}}\) приложена к центру масс вытесненного объёма жидкости, то есть к середине погружённой части стержня.

Запишем условие равенства нулю суммы моментов всех сил, вычисленных относительно оси, перпендикулярной плоскости рисунка и проходящей через точку касания стержня с дном бассейна: \[\dfrac{LS\rho_1 g}{2}\cdot\dfrac{3L\cos\alpha}{4} + \dfrac{LS\rho_2 g}{2}\cdot\dfrac{L\cos\alpha}{4} - \rho_0 gS\left(\dfrac{L}{2} + l\right)\cdot\dfrac{1}{2}\left(\dfrac{L}{2} + l\right)\cos\alpha = 0.\] Поскольку \(\cos\alpha\) в этом уравнении сокращается, то величина \(l\) не зависит от уровня налитой в бассейн воды, а определяется только соотношением плотностей частей стержня и воды. Из рисунка видно, что глубина бассейна \(h\) связана с длинами \(L\) и \(l\) соотношением \(h = \left(\dfrac{L}{2} + l\right)\sin\alpha\). Выражая отсюда величину \(l\) и подставляя её в уравнение моментов, получаем уравнение для определения \(h\), из которого с учётом того, что \(\alpha = 45^\circ\), находим ответ: \[h = \dfrac{L\sin\alpha}{2}\sqrt{\dfrac{3\rho_1 + \rho_2}{\rho_0}} = \dfrac{L\sqrt7}{4} \approx 0{,}66\text{ м}.\] Заметим, что если и дальше продолжать наливать воду в бассейн, то угол наклона стержня будет возрастать, и при \(h \geqslant L\sqrt{14}/4 \approx 0{,}93\) м он будет стоять на дне бассейна в вертикальном положении.