Паук на паутинке

Введём систему координат, как показано на рисунке 1.197, и запишем проекции сил натяжения частей паутинки на координатные оси (здесь \(k_1\) и \(k_2\) — жёсткости частей паутинки):

\[T_{1x} = k_1(L\cos\theta - x),\quad T_{2x} = -k_2x,\] \[T_{1y} = k_1(L\sin\theta - y),\quad T_{2y} = -k_2y.\] Из условий равновесия паука имеем: \[T_{1x} + T_{2x} = 0,\quad T_{1y} + T_{2y} = mg,\] откуда \[x = \dfrac{k_1L\cos\theta}{k_1 + k_2},\quad y = \dfrac{k_1L\sin\theta}{k_1 + k_2} - \dfrac{mg}{k_1 + k_2}.\] Поскольку части паутинки с коэффициентами жёсткости \(k_1\) и \(k_2\) составляют паутинку с жёсткостью \(k\), имеем: \(k = \dfrac{k_1k_2}{k_1 + k_2}\). Учитывая, что \(\dfrac{x}{L\cos\theta} = \dfrac{k_1}{k_1 + k_2}\) и \(1 - \dfrac{x}{L\cos\theta} = \dfrac{k_2}{k_1 + k_2}\), получаем: \[\dfrac{k}{k_1 + k_2} = \dfrac{k_1k_2}{(k_1 + k_2)^2} = \dfrac{x}{L\cos\theta}\left(1 - \dfrac{x}{L\cos\theta}\right).\] Следовательно, траектория паука имеет вид: \[y = x\operatorname{tg}\theta - \dfrac{mg}{k_1 + k_2} = x\operatorname{tg}\theta - \dfrac{mg}{k}\dfrac{x}{L\cos\theta}\left(1 - \dfrac{x}{L\cos\theta}\right) =\] \[= \dfrac{mg}{kL^2\cos^2\theta}x^2 + \left(\operatorname{tg}\theta - \dfrac{mg}{kL\cos\theta}\right)x,\] то есть является параболой. Тангенс угла наклона касательной к этой параболе в начале координат определяется выражением \(\operatorname{tg}\theta - \dfrac{mg}{kL\cos\theta}\) и может быть как положительным, так и отрицательным.