Пружина под действием веса

Запишем закон Гука \(F = k\cdot\Delta l\), где \(k\) — коэффициент упругости пружины, \(\Delta l\) — её удлинение. С другой стороны, известно, что \(F \sim \dfrac{\Delta l}{l}\), где \(l\) — длина пружины. Очевидно, что \(l \sim n\), где \(n\) — число витков пружины. Из приведённых выше соотношений получаем искомую зависимость \[k \sim \dfrac{1}{n}.\tag{1}\] Закрепляем один конец пружины в лапке штатива (рис. 59) и измеряем длину пружины в зависимости от числа её витков.

Зависимость получается параболической, так как масса пружины \(m \sim n\), а коэффициент упругости \(k \sim \dfrac{1}{n}\). Для наглядности строим график удлинения пружины от числа витков в координатах \(\sqrt{\Delta l_n/\Delta l_1}\) от \(n\) (рис. 60).

Дважды измеряем удлинение пружины: один раз с шариком, прикреплённым к нижнему концу пружины, другой раз без него. Пусть масса пружины равна \(M\). Тогда по закону Гука \[\left(\dfrac{M}{2} + m\right)g = k\Delta l_1,\] \[\dfrac{M}{2}g = k\Delta l_2.\] Решая эту систему уравнений, найдём \[k = \dfrac{mg}{\Delta l_1 - \Delta l_2},\] \[M = m\left(\dfrac{2\Delta l_2}{\Delta l_1 - \Delta l_2}\right).\] Зажимаем в лапку штатива часть витков пружины и определяем зависимость периода колебаний от числа свободных витков. Получаем линейную зависимость, которая согласуется с теорией.

\(T = 2\pi\sqrt{\dfrac{M_n}{k_n}}\), и т.к. \(M_n \sim n\), \(k_n \sim \dfrac{1}{n}\), то период оказывается пропорциональным числу витков пружины: \[T \sim n.\]