Подвес на двух нитях

Возможны два вида колебания груза на нитях: в плоскости чертежа, при этом \[T_1 = 2\pi\sqrt{\dfrac{L - \Delta L}{g}},\tag{1}\] перпендикулярно плоскости чертежа, при этом \[T_2 = 2\pi\sqrt{\dfrac{L}{g}}.\tag{2}\] Из (1) и (2) находим \[\dfrac{L - \Delta L}{L} = \left(\dfrac{T_1}{T_2}\right)^2.\tag{3}\] Но по условию задачи часы использовать нельзя. Выход из положения можно найти следующим способом. Отклонив груз в плоскости, перпендикулярной плоскости чертежа, а затем влево или вправо, мы возбуждаем оба вида колебаний. Груз при этом будет описывать узкую эллиптическую траекторию с изменяющимся направлением движения. Считая, что число колебаний, при котором направление колебаний станет первоначальным, равно \(N\), запишем \[T_1(N + 1) = T_2N.\tag{4}\] Из выражений (3) и (4) получим \[\dfrac{L - \Delta L}{L} = \left(\dfrac{N}{N + 1}\right)^2.\] Отсюда следует \[\dfrac{\Delta L}{L} = 1 - \left(\dfrac{N}{N + 1}\right)^2 = \dfrac{2N + 1}{(N + 1)^2}.\]