Индуктивность витка на кубе

Пусть вдоль контура 1234561 течет ток \(I\). Такой контур можно заменить двумя контурами 12361 и 63456 с тем же током \(I\). Это понятно из рис. 133. Магнитный поток, пронизывающий контур 1234561, состоит из двух одинаковых магнитных потоков, создаваемых контурами 12361 и 63456. Рассмотрим один из этих контуров, например, 12361. Поток, пронизывающий собственный контур (12361), очевидно равен \(L_1I\) и направлен на нас. Одновременно линии индукции магнитного поля этого тока пронизывают контур 63456. Этот магнитный поток будет равен \(L_{21}I\) и направлен от нас. Здесь \(L_{21}\) — коэффициент взаимной индукции. Поэтому полный магнитный поток, пронизывающий контур 1234561 двумя эквивалентными контурами, будет равен \[\Phi_2 = 2(L_1 - L_{21})I.\] По определению коэффициент самоиндукции (индуктивности) контура 1234561 \[L_2 = \Phi_2/I = 2(L_1 - L_{21}).\] Отсюда неизвестный коэффициент самоиндукции \[L_{21} = L_1 - \dfrac{L_2}{2}.\qquad (1)\] Рассмотрим теперь контур 1234561, по которому течет ток \(I\) (рис. 134). Заменим этот контур тремя эквивалентными контурами: 12761, 23472 и 67456.

Магнитный поток, пронизывающий каждый из этих трех контуров, \[\Phi = L_1I - 2L_{21}I.\] Суммарный магнитный поток через три контура \[\Phi_3 = 3\Phi = 3L_1I - 6L_{21}I.\] Поток \(\Phi_3\) входит через три грани нашего куба: 12761, 23472 и 67456. Этот же поток будет выходить через три другие грани, поскольку через любую замкнутую поверхность поток равен нулю. Этот закон является следствием отсутствия магнитных зарядов. Следовательно, магнитный поток \(\Phi_3\) будет пересекать контур 1234561.

По определению \[L_3 = \Phi_3/I = 3L_1 - 6L_{21} = 3(L_2 - L_1).\] При написании последнего равенства было использовано выражение (1).